定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は初等関数では表せません。そのため、三角関数を用いた置換積分を利用します。

* $x = \sinh(t)$ と置換します。すると $dx = \cosh(t) dt$ となります。

* 積分区間は $x=0$ のとき $\sinh(t) = 0$ なので $t = 0$, $x=1$ のとき $\sinh(t) = 1$ なので $t = \sinh^{-1}(1)$ となります。

* したがって、積分は

$\int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \sqrt{1 + \sinh^2(t)} \cosh(t) dt = \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \cosh^2(t) dt$

となります。

* $\cosh^2(t) = \frac{1+\cosh(2t)}{2}$ を用いると、

$\int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \frac{1+\cosh(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} (1+\cosh(2t)) dt$

$= \frac{1}{2} \left[ t + \frac{1}{2}\sinh(2t) \right]_{0}^{\sinh^{-1}(1)}$

$= \frac{1}{2} \left[ t + \sinh(t)\cosh(t) \right]_{0}^{\sinh^{-1}(1)}$

となります。

* ここで $\sinh(\sinh^{-1}(1)) = 1$ であり、$\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1$ より $\cosh(t) = \sqrt{1+\sinh^2(t)}$なので、$\cosh(\sinh^{-1}(1)) = \sqrt{1+1^2} = \sqrt{2}$ となります。

* したがって、

$\frac{1}{2} \left[ \sinh^{-1}(1) + 1 \cdot \sqrt{2} - 0 \right] = \frac{1}{2}\sinh^{-1}(1) + \frac{\sqrt{2}}{2}$

となります。

* $\sinh^{-1}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ であるから、$\sinh^{-1}(1) = \ln(1+\sqrt{2})$ となります。

* 最終的に積分値は

$\frac{\ln(1+\sqrt{2})}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\ln(1+\sqrt{2})}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$