与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。 数列は $S_n = 3\cdot 2 + 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2^3 + 12 \cdot 2^4 + \cdots + 3n \cdot 2^n$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。

数列は $S_n = 3\cdot 2 + 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2^3 + 12 \cdot 2^4 + \cdots + 3n \cdot 2^n$ で表されます。

2. 解き方の手順

$S_n = 3\cdot 2 + 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2^3 + 12 \cdot 2^4 + \cdots + 3n \cdot 2^n$ を計算するために、以下の手順で解きます。

まず、$S_n$ の式を書き下します。

$S_n = 3\cdot 2 + 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2^3 + 12 \cdot 2^4 + \cdots + 3n \cdot 2^n$

次に、両辺に2を掛けます。

$2S_n = 3\cdot 2^2 + 6 \cdot 2^3 + 9 \cdot 2^4 + 12 \cdot 2^5 + \cdots + 3n \cdot 2^{n+1}$

$S_n$ から $2S_n$ を引きます。

$S_n - 2S_n = 3\cdot 2 + (6-3)\cdot 2^2 + (9-6)\cdot 2^3 + (12-9)\cdot 2^4 + \cdots + (3n - 3(n-1))\cdot 2^n - 3n \cdot 2^{n+1}$

$-S_n = 6 + 3\cdot 2^2 + 3\cdot 2^3 + 3\cdot 2^4 + \cdots + 3\cdot 2^n - 3n \cdot 2^{n+1}$

$-S_n = 6 + 3(2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^n) - 3n \cdot 2^{n+1}$

ここで、$2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^n$ は等比数列の和なので、公式を用いて計算します。

$2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^n = \frac{2^2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 4(2^{n-1} - 1) = 2^{n+1} - 4$

これを $-S_n$ の式に代入します。

$-S_n = 6 + 3(2^{n+1} - 4) - 3n \cdot 2^{n+1}$

$-S_n = 6 + 3\cdot 2^{n+1} - 12 - 3n \cdot 2^{n+1}$

$-S_n = -6 + 3\cdot 2^{n+1} - 3n \cdot 2^{n+1}$

$-S_n = -6 + (3 - 3n)2^{n+1}$

$S_n = 6 + (3n - 3)2^{n+1}$

$S_n = 6 + 3(n-1)2^{n+1}$

$S_n = 6 + 3(n-1)2 \cdot 2^n$

$S_n = 6 + 6(n-1)2^n$

$S_n = 6(1 + (n-1)2^n)$

$S_n = 6(1 + n2^n - 2^n)$

$S_n = 6(1 - 2^n + n2^n)$

3. 最終的な答え

$S_n = 6(1 + (n-1)2^n)$

または

$S_n = 6(n2^n - 2^n + 1)$

または

$S_n = 6(1 - 2^n + n2^n)$