与えられた問題は2つあります。 (1) $x > 0$ のとき、不等式 $\log(x+1) < x$ を証明すること。 (2) $a$ を定数とするとき、方程式 $\log x - x = a$ と $xe^x = a$ の異なる実数解の個数を求めること。

1. 問題の内容

与えられた問題は2つあります。

(1) $x > 0$ のとき、不等式 $\log(x+1) < x$ を証明すること。

(2) $a$ を定数とするとき、方程式 $\log x - x = a$ と $xe^x = a$ の異なる実数解の個数を求めること。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $\log(x+1) < x$ の証明

関数 $f(x) = x - \log(x+1)$ を考えます。$x > 0$ において、$f(x) > 0$ であることを示すことが目標です。

まず、$f(0) = 0 - \log(0+1) = 0$ です。

次に、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x}{x+1}$

$x > 0$ のとき、$f'(x) > 0$ であるため、$f(x)$ は $x > 0$ で単調増加です。

したがって、$x > 0$ において、$f(x) > f(0) = 0$ となります。

よって、$\log(x+1) < x$ が成り立ちます。

(2) 方程式 $\log x - x = a$ の実数解の個数

関数 $g(x) = \log x - x$ を考えます。定義域は $x > 0$ です。

$g'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときです。

$0 < x < 1$ のとき、$g'(x) > 0$ であり、$x > 1$ のとき、$g'(x) < 0$ です。

したがって、$x = 1$ で $g(x)$ は極大値をとり、その値は $g(1) = \log 1 - 1 = -1$ です。

$\lim_{x \to +0} g(x) = -\infty$ であり、$\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty$ です。

よって、$y = g(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフの交点の個数が、方程式 $\log x - x = a$ の実数解の個数となります。

- $a > -1$ のとき、実数解は 0 個

- $a = -1$ のとき、実数解は 1 個

- $a < -1$ のとき、実数解は 2 個

(3) 方程式 $xe^x = a$ の実数解の個数

関数 $h(x) = xe^x$ を考えます。

$h'(x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$h'(x) = 0$ となるのは $x = -1$ のときです。

$x < -1$ のとき、$h'(x) < 0$ であり、$x > -1$ のとき、$h'(x) > 0$ です。

したがって、$x = -1$ で $h(x)$ は極小値をとり、その値は $h(-1) = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$ です。

$\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0$ であり、$\lim_{x \to \infty} h(x) = \infty$ です。

$y = h(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフの交点の個数が、方程式 $xe^x = a$ の実数解の個数となります。

- $a < -\frac{1}{e}$ のとき、実数解は 0 個

- $a = -\frac{1}{e}$ のとき、実数解は 1 個

- $-\frac{1}{e} < a < 0$ のとき、実数解は 2 個

- $a \geq 0$ のとき、実数解は 1 個

3. 最終的な答え

(1) $\log(x+1) < x$ の証明は上記参照。

(2) $\log x - x = a$ の実数解の個数:

- $a > -1$ のとき、0個

- $a = -1$ のとき、1個

- $a < -1$ のとき、2個

(3) $xe^x = a$ の実数解の個数:

- $a < -\frac{1}{e}$ のとき、0個

- $a = -\frac{1}{e}$ のとき、1個

- $-\frac{1}{e} < a < 0$ のとき、2個

- $a \geq 0$ のとき、1個