関数 $y = \frac{x^3}{x^2 - 3}$ の導関数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3}{x^2 - 3}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u}{v}$ の導関数が $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ で与えられるというものです。

この問題では、$u = x^3$ と $v = x^2 - 3$ です。

まず、$u$ と $v$ の導関数を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2 - 3) = 2x$

次に、商の微分公式にこれらの導関数を代入します。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(3x^2)(x^2 - 3) - (x^3)(2x)}{(x^2 - 3)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{3x^4 - 9x^2 - 2x^4}{(x^2 - 3)^2} = \frac{x^4 - 9x^2}{(x^2 - 3)^2}$

さらに、分子を因数分解します。

$y' = \frac{x^2(x^2 - 9)}{(x^2 - 3)^2}$

$y' = \frac{x^2(x - 3)(x + 3)}{(x^2 - 3)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{x^2(x^2 - 9)}{(x^2 - 3)^2}$

または

$y' = \frac{x^2(x - 3)(x + 3)}{(x^2 - 3)^2}$