次の3つの関数のグラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ (2) $y = e^{-x^2}$ (3) $y = xe^x$

1. 問題の内容

次の3つの関数のグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

(2) $y = e^{-x^2}$

(3) $y = xe^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

* 定義域：すべての実数

* 対称性：$y(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} = y(x)$であるため、y軸に関して対称（偶関数）。

* $x \to \pm \infty$のとき、$y \to 0$。

* $y' = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$

* $y' = 0$のとき、$x = 0$

* $x < 0$のとき、$y' > 0$ (増加)

* $x > 0$のとき、$y' < 0$ (減少)

* したがって、$x = 0$で極大値$y = 1$をとる。

* $y'' = \frac{-2(x^2 + 1)^2 + 2x \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4} = \frac{-2(x^2 + 1) + 8x^2}{(x^2 + 1)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(x^2 + 1)^3} = \frac{2(3x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3}$

* $y'' = 0$のとき、$3x^2 - 1 = 0$より、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

* $x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$または$x > \frac{1}{\sqrt{3}}$のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* したがって、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$で変曲点を持つ。

(2) $y = e^{-x^2}$

* 定義域：すべての実数

* 対称性：$y(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = y(x)$であるため、y軸に関して対称（偶関数）。

* $x \to \pm \infty$のとき、$y \to 0$。

* $y' = -2xe^{-x^2}$

* $y' = 0$のとき、$x = 0$

* $x < 0$のとき、$y' > 0$ (増加)

* $x > 0$のとき、$y' < 0$ (減少)

* したがって、$x = 0$で極大値$y = 1$をとる。

* $y'' = (-2 + 4x^2)e^{-x^2}$

* $y'' = 0$のとき、$4x^2 - 2 = 0$より、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

* $x < -\frac{1}{\sqrt{2}}$または$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* したがって、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点を持つ。

(3) $y = xe^x$

* 定義域：すべての実数

* 対称性：なし

* $x \to -\infty$のとき、$y \to 0$、$x \to \infty$のとき、$y \to \infty$。

* $y' = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$

* $y' = 0$のとき、$x = -1$

* $x < -1$のとき、$y' < 0$ (減少)

* $x > -1$のとき、$y' > 0$ (増加)

* したがって、$x = -1$で極小値$y = -e^{-1}$をとる。

* $y'' = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$

* $y'' = 0$のとき、$x = -2$

* $x < -2$のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $x > -2$のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* したがって、$x = -2$で変曲点を持つ。

3. 最終的な答え

グラフの概形は上記の手順を参考に描画してください。重要な点は以下の通りです。

* (1) は $x=0$ で最大値1をとり、y軸対称で、$x$ が大きくなるにつれて0に近づく山のようなグラフです。変曲点は $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ にあります。

* (2) は $x=0$ で最大値1をとり、y軸対称で、$x$ が大きくなるにつれて0に近づく山のようなグラフです。変曲点は $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ にあります。

* (3) は $x=-1$ で極小値 $-e^{-1}$ をとり、$x$ が$-\infty$から増加するとまず減少し、$x=-1$を過ぎると増加します。$x \to -\infty$ で $y \to 0$に近づきます。変曲点は $x = -2$ にあります。