与えられた関数 $y = e^{-x} \cos x$ の2階微分 $y''$ を求める問題です。既に1階微分 $y' = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$ が計算されています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = e^{-x} \cos x$ の2階微分 $y''$ を求める問題です。既に1階微分 $y' = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$ が計算されています。

2. 解き方の手順

1階微分 $y' = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$ をさらに微分して $y''$ を求めます。積の微分公式と和の微分公式を使います。

$y'' = \frac{d}{dx}(-e^{-x}(\cos x + \sin x))$

$y'' = -\frac{d}{dx}(e^{-x}(\cos x + \sin x))$

$y'' = -[(e^{-x})' (\cos x + \sin x) + e^{-x} (\cos x + \sin x)']$

$y'' = -[-e^{-x} (\cos x + \sin x) + e^{-x} (-\sin x + \cos x)]$

$y'' = e^{-x} (\cos x + \sin x) - e^{-x} (-\sin x + \cos x)$

$y'' = e^{-x} (\cos x + \sin x + \sin x - \cos x)$

$y'' = e^{-x} (2\sin x)$

$y'' = 2e^{-x} \sin x$

3. 最終的な答え

$y'' = 2e^{-x} \sin x$