$\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+3}-8}{x-1}$ が有限な値を持つように定数 $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+3}-8}{x-1}$ が有限な値を持つように定数 $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母 $x-1 \to 0$ となる。極限が有限な値を持つためには、分子も $x \to 1$ のとき $0$ に収束する必要がある。したがって、

$a\sqrt{1+3}-8 = 0$

$2a - 8 = 0$

$a = 4$

となる。

次に、$a=4$ を代入して極限を計算する。

$\lim_{x \to 1} \frac{4\sqrt{x+3}-8}{x-1}$

ここで、分子を有理化するために、分子と分母に $4\sqrt{x+3}+8$ を掛ける。

$\lim_{x \to 1} \frac{(4\sqrt{x+3}-8)(4\sqrt{x+3}+8)}{(x-1)(4\sqrt{x+3}+8)} = \lim_{x \to 1} \frac{16(x+3)-64}{(x-1)(4\sqrt{x+3}+8)}$

$\lim_{x \to 1} \frac{16x+48-64}{(x-1)(4\sqrt{x+3}+8)} = \lim_{x \to 1} \frac{16x-16}{(x-1)(4\sqrt{x+3}+8)}$

$\lim_{x \to 1} \frac{16(x-1)}{(x-1)(4\sqrt{x+3}+8)} = \lim_{x \to 1} \frac{16}{4\sqrt{x+3}+8}$

$x \to 1$ のとき、

$\frac{16}{4\sqrt{1+3}+8} = \frac{16}{4\sqrt{4}+8} = \frac{16}{4(2)+8} = \frac{16}{8+8} = \frac{16}{16} = 1$

3. 最終的な答え

$a = 4$

極限値 $= 1$