与えられた関数の不定積分を求めます。問題の関数は $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} $ です。

1. 問題の内容

与えられた関数の不定積分を求めます。問題の関数は $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、平方完成を用いて根号の中を整理します。

$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2 + 2}} dx$

ここで、$x-1 = \sqrt{2} \sinh(t)$ と置換します。

すると、$dx = \sqrt{2} \cosh(t) dt$ となります。

この置換により、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sqrt{2} \cosh(t)}{\sqrt{2 \sinh^2(t) + 2}} dt = \int \frac{\sqrt{2} \cosh(t)}{\sqrt{2 (\sinh^2(t) + 1)}} dt$

$\sinh^2(t) + 1 = \cosh^2(t)$ であるから、

$\int \frac{\sqrt{2} \cosh(t)}{\sqrt{2 \cosh^2(t)}} dt = \int \frac{\sqrt{2} \cosh(t)}{\sqrt{2} \cosh(t)} dt = \int 1 dt = t + C$

ここで、$t$を$x$に戻します。

$x-1 = \sqrt{2} \sinh(t)$より、$\sinh(t) = \frac{x-1}{\sqrt{2}}$

$t = \mathrm{arcsinh}(\frac{x-1}{\sqrt{2}})$となります。

$\mathrm{arcsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$であるため、

$t = \ln(\frac{x-1}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{(x-1)^2}{2} + 1}) = \ln(\frac{x-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{(x-1)^2 + 2}}{\sqrt{2}})$

$= \ln(\frac{x-1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}}{\sqrt{2}})$

$= \ln(x-1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) - \ln(\sqrt{2})$

定数項は積分定数に含めることができるため、

$\ln(x-1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) + C'$となります。

または、以下のように解くこともできます。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2 + 2}}dx$

$x-1 = \sqrt{2} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta$

$\int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{\sqrt{2 \tan^2 \theta + 2}} d\theta = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{\sqrt{2 \sec^2 \theta}} d\theta = \int \sec \theta d\theta = \ln|\sec \theta + \tan \theta| + C$

$\tan \theta = \frac{x-1}{\sqrt{2}}$なので、$\sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{1 + \frac{(x-1)^2}{2}} = \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 3}{2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{\sqrt{2}}$

$\ln|\frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{\sqrt{2}} + \frac{x-1}{\sqrt{2}}| + C = \ln|\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x - 1| - \ln \sqrt{2} + C = \ln|\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x - 1| + C'$

積分公式 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx = \mathrm{arcsinh}(\frac{x}{a})+C = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C'$を用いると、

$\int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+2}}dx = \ln(x-1 + \sqrt{(x-1)^2 + 2}) + C = \ln(x-1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) + C$

3. 最終的な答え

$\ln(x-1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) + C$