(1) $y = \sin 2x$ のとき、$y^{(n)} = 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2})$ であることを数学的帰納法を用いて証明する。 (2) $y = x^n$ の第 $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

(1) $y = \sin 2x$ のとき、$y^{(n)} = 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2})$ であることを数学的帰納法を用いて証明する。

(2) $y = x^n$ の第 $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法による証明

i) $n=1$ のとき

$y = \sin 2x$

$y' = 2 \cos 2x = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{2})$

右辺は $2^1 \sin(2x + \frac{1\pi}{2}) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{2})$

よって、$n=1$ のとき成り立つ。

ii) $n=k$ のとき、$y^{(k)} = 2^k \sin(2x + \frac{k\pi}{2})$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n=k+1$ のときも成り立つことを示す。

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} (2^k \sin(2x + \frac{k\pi}{2})) = 2^k \cdot 2 \cos(2x + \frac{k\pi}{2}) = 2^{k+1} \cos(2x + \frac{k\pi}{2}) = 2^{k+1} \sin(2x + \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = 2^{k+1} \sin(2x + \frac{(k+1)\pi}{2})$

よって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$y^{(n)} = 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2})$ が証明された。

(2) $y = x^n$ の第 $n$ 次導関数を求める

$y = x^n$

$y' = nx^{n-1}$

$y'' = n(n-1)x^{n-2}$

$y''' = n(n-1)(n-2)x^{n-3}$

...

$y^{(n)} = n(n-1)(n-2) \cdots 1 = n!$

3. 最終的な答え

(1) $y = \sin 2x$ のとき、$y^{(n)} = 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2})$

(2) $y = x^n$ の第 $n$ 次導関数は $n!$