次の2つの関数の不定積分を求めます。 (1) $tan^5 x$ (2) $\frac{1}{1 + sin x}$

1. 問題の内容

次の2つの関数の不定積分を求めます。

(1) $tan^5 x$

(2) $\frac{1}{1 + sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $tan^5 x$ の不定積分

まず、$tan^5 x$ を以下のように分解します。

$tan^5 x = tan^3 x \cdot tan^2 x = tan^3 x (sec^2 x - 1) = tan^3 x \cdot sec^2 x - tan^3 x$

さらに、$tan^3 x$ を以下のように分解します。

$tan^3 x = tan x \cdot tan^2 x = tan x (sec^2 x - 1) = tan x \cdot sec^2 x - tan x$

したがって、

$tan^5 x = tan^3 x \cdot sec^2 x - (tan x \cdot sec^2 x - tan x) = tan^3 x \cdot sec^2 x - tan x \cdot sec^2 x + tan x$

不定積分を計算します。

$\int tan^5 x dx = \int (tan^3 x \cdot sec^2 x - tan x \cdot sec^2 x + tan x) dx$

$= \int tan^3 x \cdot sec^2 x dx - \int tan x \cdot sec^2 x dx + \int tan x dx$

ここで、$\int tan^n x \cdot sec^2 x dx = \frac{tan^{n+1} x}{n+1} + C$ であるから、

$\int tan^3 x \cdot sec^2 x dx = \frac{tan^4 x}{4} + C_1$

$\int tan x \cdot sec^2 x dx = \frac{tan^2 x}{2} + C_2$

$\int tan x dx = -ln|cos x| + C_3$

よって、

$\int tan^5 x dx = \frac{tan^4 x}{4} - \frac{tan^2 x}{2} - ln|cos x| + C$

(2) $\frac{1}{1 + sin x}$ の不定積分

分母と分子に $1 - sin x$ をかけます。

$\frac{1}{1 + sin x} = \frac{1 - sin x}{(1 + sin x)(1 - sin x)} = \frac{1 - sin x}{1 - sin^2 x} = \frac{1 - sin x}{cos^2 x} = \frac{1}{cos^2 x} - \frac{sin x}{cos^2 x} = sec^2 x - \frac{sin x}{cos^2 x}$

不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{1 + sin x} dx = \int (sec^2 x - \frac{sin x}{cos^2 x}) dx = \int sec^2 x dx - \int \frac{sin x}{cos^2 x} dx$

ここで、$\int sec^2 x dx = tan x + C_1$

$\int \frac{sin x}{cos^2 x} dx$ において、$u = cos x$ とすると、$du = -sin x dx$ であるから、

$\int \frac{sin x}{cos^2 x} dx = \int \frac{-1}{u^2} du = \frac{1}{u} + C_2 = \frac{1}{cos x} + C_2 = sec x + C_2$

よって、

$\int \frac{1}{1 + sin x} dx = tan x - sec x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int tan^5 x dx = \frac{tan^4 x}{4} - \frac{tan^2 x}{2} - ln|cos x| + C$

(2) $\int \frac{1}{1 + sin x} dx = tan x - sec x + C$