与えられた関数 $y'$ が $y' = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$ で表されるとき、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y'$ が $y' = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$ で表されるとき、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$y' = 0$ となる条件を考えます。

$y' = -e^{-x}(\cos x + \sin x) = 0$ です。

指数関数 $e^{-x}$ は常に正の値をとるため、$e^{-x} \neq 0$ です。

したがって、$\cos x + \sin x = 0$ となる $x$ を求める必要があります。

$\cos x + \sin x = 0$ を変形すると、$\sin x = -\cos x$ となります。

両辺を $\cos x$ で割ると ($\cos x \neq 0$ の場合)、$\tan x = -1$ となります。

$\tan x = -1$ となる $x$ の一般解は $x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ （$n$ は整数）です。

ここで、$\cos x = 0$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$ は整数) です。このとき、$\sin x = \pm 1$ となるため、$\cos x + \sin x = 0$ は満たされません。

したがって、$\cos x \neq 0$ の仮定は正しいです。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ （$n$ は整数）