関数 $y = \frac{3x}{x^2 + 1}$ のグラフの概形を描く問題です。

承知いたしました。それでは、画像に写っている問題のうち、(1) の $y = \frac{3x}{x^2 + 1}$ について、グラフの概形を描くための手順と最終的な答えを示します。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3x}{x^2 + 1}$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域：分母が $x^2 + 1$ であるため、定義域はすべての実数です。

(2) 対称性：

$y(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-3x}{x^2 + 1} = -y(x)$

したがって、この関数は原点に関して対称です。

(3) 極値：

導関数を計算します。

$y' = \frac{3(x^2 + 1) - 3x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3 - 3x^2}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3 - 3x^2 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = 1$ のとき、$y = \frac{3(1)}{1^2 + 1} = \frac{3}{2}$

$x = -1$ のとき、$y = \frac{3(-1)}{(-1)^2 + 1} = -\frac{3}{2}$

したがって、極大値は $(1, \frac{3}{2})$、極小値は $(-1, -\frac{3}{2})$ です。

(4) 増減表：

$x < -1$ のとき、$y' < 0$

$-1 < x < 1$ のとき、$y' > 0$

$x > 1$ のとき、$y' < 0$

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|:----------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | ↘ | -3/2| ↗ | 3/2 | ↘ |

(5) 漸近線：

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 + 1} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{x^2 + 1} = 0$

したがって、$y = 0$ が漸近線です。

(6) グラフの概形：

上記の情報を基にグラフを描きます。原点対称で、$x = 1$ で極大値 $\frac{3}{2}$ をとり、$x = -1$ で極小値 $-\frac{3}{2}$ をとり、漸近線は $y = 0$ となります。

3. 最終的な答え

グラフの概形は、原点対称で、点 $(1, \frac{3}{2})$ で極大、$(-1, -\frac{3}{2})$ で極小となり、$y = 0$ が漸近線となるような曲線になります。