与えられた関数 $y = e^{-x} \cos{x}$ について、$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、この関数のグラフの概形を描くための情報を求める問題です。具体的に何を求めるかは不明ですが、極値や増減を調べることでグラフの概形を描くことができます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = e^{-x} \cos{x}$ について、$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、この関数のグラフの概形を描くための情報を求める問題です。具体的に何を求めるかは不明ですが、極値や増減を調べることでグラフの概形を描くことができます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(e^{-x} \cos{x}) = -e^{-x}\cos{x} - e^{-x}\sin{x} = -e^{-x}(\cos{x} + \sin{x})$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-e^{-x}(\cos{x} + \sin{x}) = 0$

$e^{-x} > 0$ なので、$\cos{x} + \sin{x} = 0$ を解けば良いです。

$\sin{x} = -\cos{x}$

$\tan{x} = -1$

$x = \frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi$ （$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で）

次に、増減表を作ります。

| x | 0 | ... | $\frac{3}{4}\pi$ | ... | $\frac{7}{4}\pi$ | ... | $2\pi$ |

|-------------|-----------------|----------------------|-----------------|----------------------|-----------------|----------------------|-----------------|

| $y'$ | - | - | 0 | + | 0 | - | - |

| $y$ | 1 | $\downarrow$ | -0.067 | $\uparrow$ | 0.0028 | $\downarrow$ | 0.000186 |

$x = \frac{3}{4}\pi$ で極小値 $y = e^{-\frac{3}{4}\pi} \cos{(\frac{3}{4}\pi)} = e^{-\frac{3}{4}\pi} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \approx -0.067$ をとります。

$x = \frac{7}{4}\pi$ で極大値 $y = e^{-\frac{7}{4}\pi} \cos{(\frac{7}{4}\pi)} = e^{-\frac{7}{4}\pi} (\frac{\sqrt{2}}{2}) \approx 0.0028$ をとります。

$x=0$ のとき $y=1$

$x=2\pi$ のとき $y=e^{-2\pi} \approx 0.00186$

以上の情報を基にグラフを描くことができます。

3. 最終的な答え

極大値: $x = \frac{7}{4}\pi$ のとき $y \approx 0.0028$

極小値: $x = \frac{3}{4}\pi$ のとき $y \approx -0.067$

$x=0$ のとき $y=1$

$x=2\pi$ のとき $y=e^{-2\pi} \approx 0.00186$