半径 $\frac{1}{n\sqrt{n+1}}$、高さ $n$ の円柱 $C_n$ について、その体積を $V_n$、側面積を $T_n$ とする。 (1) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} V_n$ が収束するかどうか調べ、収束する場合はその和を求め、発散する場合はその旨を示す。 (2) $T_n > 4\pi(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$ であることを示し、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} T_n$ が収束するかどうか調べ、収束する場合はその和を求め、発散する場合はその旨を示す。

1. 問題の内容

半径 $\frac{1}{n\sqrt{n+1}}$、高さ $n$ の円柱 $C_n$ について、その体積を $V_n$、側面積を $T_n$ とする。

(1) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} V_n$ が収束するかどうか調べ、収束する場合はその和を求め、発散する場合はその旨を示す。

(2) $T_n > 4\pi(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$ であることを示し、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} T_n$ が収束するかどうか調べ、収束する場合はその和を求め、発散する場合はその旨を示す。

2. 解き方の手順

(1)

円柱の体積 $V_n$ は、底面積 $\times$ 高さで計算される。

$V_n = \pi \left(\frac{1}{n\sqrt{n+1}}\right)^2 \times n = \frac{\pi n}{n^2(n+1)} = \frac{\pi}{n(n+1)}$

部分分数分解により、

$V_n = \pi \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

$\sum_{n=1}^{\infty} V_n = \pi \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

これはtelescoping seriesなので、部分和を考えると、

$S_N = \pi \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \pi \left(1 - \frac{1}{N+1}\right)$

$N \to \infty$ のとき、$\frac{1}{N+1} \to 0$ なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} V_n = \lim_{N \to \infty} S_N = \pi$

(2)

円柱の側面積 $T_n$ は、底面の円周 $\times$ 高さで計算される。

$T_n = 2\pi \times \frac{1}{n\sqrt{n+1}} \times n = \frac{2\pi}{\sqrt{n+1}}$

与えられた不等式 $T_n > 4\pi(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$ を示す。

$\frac{2\pi}{\sqrt{n+1}} > 4\pi(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$

$\frac{1}{2\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}$

$\frac{1}{2\sqrt{n+1}} > \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}} = \frac{(n+2)-(n+1)}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}$

$\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} > 2\sqrt{n+1}$

これは明らかに成り立つので、不等式 $T_n > 4\pi(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$ は示された。

次に、$\sum_{n=1}^{\infty} T_n$ が収束するかどうか調べる。

$T_n > 4\pi(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$ なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} T_n > \sum_{n=1}^{\infty} 4\pi(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) = 4\pi \sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$

部分和を考えると、

$S_N = 4\pi \sum_{n=1}^{N} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) = 4\pi (\sqrt{N+2} - \sqrt{2})$

$N \to \infty$ のとき、$\sqrt{N+2} \to \infty$ なので、$S_N \to \infty$ となり、$\sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$ は発散する。

したがって、比較定理より、$\sum_{n=1}^{\infty} T_n$ も発散する。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} V_n$ は収束し、その和は $\pi$ である。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} T_n$ は発散する。