2重積分 $\iint_D x dxdy$ の値を求めます。積分領域 $D$ は $0 \leq x^2 + y^2 \leq 2y$ で定義されます。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D x dxdy$ の値を求めます。積分領域 $D$ は $0 \leq x^2 + y^2 \leq 2y$ で定義されます。

2. 解き方の手順

ステップ1：変数変換

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおきます。

このとき、$x^2 + y^2 = r^2$ であり、$dxdy = rdrd\theta$ となります。

積分領域 $D$ は $0 \leq r^2 \leq 2r\sin\theta$ となり、$r \geq 0$ より、$0 \leq r \leq 2\sin\theta$ となります。

また、$2\sin\theta \geq 0$ なので、$-\pi \leq \theta \leq \pi$ において $0 \leq \theta \leq \pi$ となります。

したがって、積分領域 $E$ は $E = \{(r, \theta) | 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq r \leq 2\sin\theta\}$ となります。

ステップ2：2重積分の計算

与えられた2重積分を極座標で書き換えます。

$\iint_D x dxdy = \int_0^{\pi} \int_0^{2\sin\theta} (r\cos\theta)r drd\theta = \int_0^{\pi} \int_0^{2\sin\theta} r^2 \cos\theta drd\theta$

まず、$r$ について積分します。

$\int_0^{2\sin\theta} r^2 \cos\theta dr = \cos\theta \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_0^{2\sin\theta} = \frac{1}{3} \cos\theta (2\sin\theta)^3 = \frac{8}{3} \sin^3\theta \cos\theta$

次に、$\theta$ について積分します。

$\int_0^{\pi} \frac{8}{3} \sin^3\theta \cos\theta d\theta = \frac{8}{3} \int_0^{\pi} \sin^3\theta \cos\theta d\theta$

$u = \sin\theta$ とおくと、$du = \cos\theta d\theta$ となります。$\theta: 0 \to \pi$ のとき、$u: 0 \to 0$ となります。

したがって、$\frac{8}{3} \int_0^0 u^3 du = \frac{8}{3} \left[ \frac{1}{4} u^4 \right]_0^0 = 0$

3. 最終的な答え

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