与えられた3つの関数をフーリエ級数展開する問題です。各関数は周期関数であるとします。 (1) $f(x) = 2x - 1 (-\pi \le x \le \pi)$ (2) $f(x) = x + 1 (-1 \le x \le 1)$ (3) $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をフーリエ級数展開する問題です。各関数は周期関数であるとします。

(1) $f(x) = 2x - 1 (-\pi \le x \le \pi)$

(2) $f(x) = x + 1 (-1 \le x \le 1)$

(3)

$f(x) = \begin{cases}

-2 & (-2 \le x \le 0) \\

2 & (0 \le x \le 2)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

フーリエ級数展開は、一般的に以下の形で表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(\frac{n \pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n \pi x}{L})]$

ここで、$L$は周期の半分であり、$a_0$, $a_n$, $b_n$はフーリエ係数で、以下の式で計算されます。

$a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n \pi x}{L}) dx$

$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin(\frac{n \pi x}{L}) dx$

(1) $f(x) = 2x - 1$の場合、$L = \pi$です。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2x - 1) dx = \frac{1}{\pi} [x^2 - x]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} [(\pi^2 - \pi) - (\pi^2 + \pi)] = -2$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2x - 1) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} [\frac{2x \sin(nx)}{n} + \frac{2 \cos(nx)}{n^2} - \frac{\sin(nx)}{n}]_{-\pi}^{\pi} = 0$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2x - 1) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} [-\frac{2x \cos(nx)}{n} + \frac{2 \sin(nx)}{n^2} + \frac{\cos(nx)}{n}]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} [-\frac{4\pi \cos(n\pi)}{n}] = -\frac{4}{n} (-1)^n = \frac{4}{n} (-1)^{n+1}$

したがって、$f(x) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$

(2) $f(x) = x + 1$の場合、$L = 1$です。

$a_0 = \int_{-1}^{1} (x+1) dx = [\frac{x^2}{2} + x]_{-1}^{1} = (1/2 + 1) - (1/2 - 1) = 2$

$a_n = \int_{-1}^{1} (x+1) \cos(n \pi x) dx = [\frac{(x+1)\sin(n \pi x)}{n\pi} + \frac{\cos(n \pi x)}{(n \pi)^2}]_{-1}^{1} = \frac{2\sin(n\pi)}{n\pi} + \frac{\cos(n\pi)}{(n\pi)^2} - \frac{\cos(-n\pi)}{(n\pi)^2} = \frac{2\cos(n\pi)}{(n\pi)^2} - \frac{1}{\pi}\frac{\sin(n\pi x)}{n \pi} = 0 + \frac{\cos(n\pi)}{(n \pi)^2}-\frac{\cos(-n\pi)}{(n \pi)^2} = 0$

$b_n = \int_{-1}^{1} (x+1) \sin(n \pi x) dx = [-\frac{(x+1)\cos(n \pi x)}{n \pi} + \frac{\sin(n \pi x)}{(n \pi)^2}]_{-1}^{1} = \frac{-2\cos(n \pi)}{n \pi} - \frac{0}{n\pi} = -\frac{2}{n \pi} (-1)^n = \frac{2}{n \pi} (-1)^{n+1}$

したがって、$f(x) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 (-1)^{n+1}}{n \pi} \sin(n\pi x)$

(3) $f(x)$の場合、$L = 2$です。

$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} -2 dx + \int_{0}^{2} 2 dx) = \frac{1}{2} ([-2x]_{-2}^{0} + [2x]_{0}^{2}) = \frac{1}{2} ((0 - 4) + (4 - 0)) = 0$

$a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \cos(\frac{n \pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} -2 \cos(\frac{n \pi x}{2}) dx + \int_{0}^{2} 2 \cos(\frac{n \pi x}{2}) dx) = \frac{1}{2} ([-2 * \frac{2}{n\pi}\sin(\frac{n\pi x}{2})]_{-2}^{0} + [2*\frac{2}{n\pi}\sin(\frac{n\pi x}{2})]_{0}^{2}) = \frac{1}{2}([0+ \frac{4}{n\pi}\sin(-n\pi)] + [\frac{4}{n\pi}\sin(n\pi) - 0]) = 0$

$b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \sin(\frac{n \pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} -2 \sin(\frac{n \pi x}{2}) dx + \int_{0}^{2} 2 \sin(\frac{n \pi x}{2}) dx) = \frac{1}{2} ([2 * \frac{2}{n\pi}\cos(\frac{n\pi x}{2})]_{-2}^{0} + [-2*\frac{2}{n\pi}\cos(\frac{n\pi x}{2})]_{0}^{2}) = \frac{1}{2}([\frac{4}{n\pi}-\frac{4}{n\pi}\cos(-n\pi)] + [-\frac{4}{n\pi}\cos(n\pi)+\frac{4}{n\pi}]) = \frac{4}{n\pi}(1-\cos(n\pi)) = \frac{4}{n\pi} (1-(-1)^n)$

したがって、$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n\pi}(1-(-1)^n) \sin(\frac{n\pi x}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$

(2) $f(x) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 (-1)^{n+1}}{n \pi} \sin(n\pi x)$

(3) $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n\pi}(1-(-1)^n) \sin(\frac{n\pi x}{2})$