問題は3つの部分に分かれています。 (I) 集合 $A = \{\frac{n^2 + 2n}{n^2 + 1} : n \in N\}$ の最大値、最小値、上限、下限を求める問題です。ここで、$N$ は正の整数全体の集合です。 (II) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ が $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_n = a_{n-1} + \frac{1}{2^n}$ ($n = 2, 3, ...$) で定義されています。この数列の収束に関する文章の空欄を埋める問題です。 (III) いくつかの数列や関数の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は3つの部分に分かれています。

(I) 集合 $A = \{\frac{n^2 + 2n}{n^2 + 1} : n \in N\}$ の最大値、最小値、上限、下限を求める問題です。ここで、$N$ は正の整数全体の集合です。

(II) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ が $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_n = a_{n-1} + \frac{1}{2^n}$ ($n = 2, 3, ...$) で定義されています。この数列の収束に関する文章の空欄を埋める問題です。

(III) いくつかの数列や関数の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

(I) 集合 $A$ について

$f(n) = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 1}$ とおきます。

$f(1) = \frac{1 + 2}{1 + 1} = \frac{3}{2} = 1.5$

$f(2) = \frac{4 + 4}{4 + 1} = \frac{8}{5} = 1.6$

$f(3) = \frac{9 + 6}{9 + 1} = \frac{15}{10} = 1.5$

$f(n) = \frac{n^2 + 1 + 2n - 1}{n^2 + 1} = 1 + \frac{2n - 1}{n^2 + 1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2n - 1}{n^2 + 1} \to 0$ であるから、$\lim_{n \to \infty} f(n) = 1$ です。

$f'(n) = \frac{2(n^2 + 1) - (2n - 1)(2n)}{(n^2 + 1)^2} = \frac{2n^2 + 2 - 4n^2 + 2n}{(n^2 + 1)^2} = \frac{-2n^2 + 2n + 2}{(n^2 + 1)^2}$

$f'(n) = 0$ となるのは、$-2n^2 + 2n + 2 = 0$ すなわち $n^2 - n - 1 = 0$ のときです。

$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

正の解は $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.236}{2} \approx 1.618$ なので、$n=1$ または $n=2$ で最大値を取る可能性があります。

$f(1) = \frac{3}{2}$

$f(2) = \frac{8}{5}$

$\frac{8}{5} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow 16 > 15$ なので、$f(2)$ が最大値です。

したがって、

最大値: $\frac{8}{5}$

上限: $\frac{8}{5}$

下限: 1

最小値: なし

(II) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ について

$a_1 = \frac{1}{2}$

$a_2 = a_1 + \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$a_3 = a_2 + \frac{1}{2^3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$a_n = \frac{2^n - 1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}$ と推測できます。

数学的帰納法で証明します。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1 - \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$ で成立します。

$n = k$ のとき、$a_k = 1 - \frac{1}{2^k}$ が成立すると仮定します。

$a_{k+1} = a_k + \frac{1}{2^{k+1}} = 1 - \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}} = 1 - \frac{2}{2^{k+1}} + \frac{1}{2^{k+1}} = 1 - \frac{1}{2^{k+1}}$

したがって、$n = k+1$ のときも成立します。

よって、$a_n = 1 - \frac{1}{2^n}$ です。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2^n}) = 1$

したがって、数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ は 1 に収束します。

| $a_n - 1$ | $= |1 - \frac{1}{2^n} - 1| = |\frac{-1}{2^n}| = \frac{1}{2^n} < \epsilon$

$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^N}$ となるような $N$ を選べば、$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^N} < \epsilon$ とできます。

$\frac{1}{2^N} < \epsilon \Leftrightarrow 2^N > \frac{1}{\epsilon} \Leftrightarrow N > \log_2(\frac{1}{\epsilon})$

任意の $\epsilon > 0$ に対し、ある自然数 $N$ を $N > \log_2(\frac{1}{\epsilon})$ を満たすようにとる。すると $n > N$ を満たす任意の自然数 $n$ に対して、$|a_n - 1| = \frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^N} < \epsilon$ が成り立つ。すなわち $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$ である。

(III)

(1) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n = e^2$

(2) $a \geq b > 0$ とする。$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n} = a \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + (\frac{b}{a})^n}$ 。$0<\frac{b}{a} \leq 1$なので、$n \to \infty$ で $\sqrt[n]{1 + (\frac{b}{a})^n} \to 1$. よって、$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n} = a$.

(3) $b \neq 0$ とする。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} \frac{bx}{\sin(bx)} \frac{ax}{bx} = \frac{a}{b}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1) = n$

(5) $\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x})$

$-1 \leq \cos(\frac{1}{x}) \leq 1$ なので、$-|x| \leq x \cos(\frac{1}{x}) \leq |x|$

$x \to 0$ のとき、$-|x| \to 0$ かつ $|x| \to 0$ なので、$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) = 0$

3. 最終的な答え

(I)

最大値: $\frac{8}{5}$

最小値: なし

上限: $\frac{8}{5}$

下限: 1

(II)

ア: 1

イ: $\log_2(\frac{1}{\epsilon})$

ウ: 任意の

オ: $\frac{1}{2^N}$

(III)

(1) $e^2$

(2) $a$

(3) $\frac{a}{b}$

(4) $n$

(5) 0