関数 $f(x) = -\frac{x}{2} + \sin x$ （$0 \le x \le \pi$）の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{x}{2} + \sin x$ （$0 \le x \le \pi$）の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 導関数を計算する。

$f'(x) = -\frac{1}{2} + \cos x$

ステップ2: 導関数が0になる点を求める。

$f'(x) = 0$ を解くと、

$-\frac{1}{2} + \cos x = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

$0 \le x \le \pi$ の範囲でこれを満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{3}$ です。

ステップ3: 第二次導関数を計算する。

$f''(x) = -\sin x$

ステップ4: $x = \frac{\pi}{3}$ における第二次導関数の値を計算する。

$f''(\frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ5: 極値を判定する。

$f''(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ なので、$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値をとります。

ステップ6: 極大値を計算する。

$f(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{2 \cdot 3} + \sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$

ステップ7: 区間の端点を確認する。

$f(0) = -\frac{0}{2} + \sin 0 = 0$

$f(\pi) = -\frac{\pi}{2} + \sin \pi = -\frac{\pi}{2}$

よって、$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値 $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$ をとり、極小値はありません。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき極大値 $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$, 極小値なし