与えられた等式 $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{1}$, $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$, ... が成り立つことを利用して、和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{1}$, $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$, ... が成り立つことを利用して、和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ の分母と分子に $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ を掛ける。

すると、

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{k+1 - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

これは、差の形になっているので、和を計算すると、多くの項が打ち消し合う（telescoping sum）。

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + ... + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

$= -\sqrt{1} + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + ... + (\sqrt{n} - \sqrt{n}) + \sqrt{n+1}$

$= -\sqrt{1} + \sqrt{n+1}$

$= \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+1} - 1$