関数 $f(x)$ は閉区間 $\bar{I}$ で連続、開区間 $I$ で微分可能とする。ここで、$I = (a, b)$、$ \bar{I} = [a, b]$ である。以下の選択肢から正しいものをすべて選ぶ。 選択肢は以下の通り： * $f(x)$ が $\bar{I}$ において単調増加であるための必要十分条件は、$I$ において $f'(x) \geq 0$ が成り立つことである。 * $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7$ は閉区間 $[-1, 2]$ において単調増加である。 * $f(x)$ が $\bar{I}$ で狭義単調減少ならば、$I$ 上で $f'(x) < 0$ が成り立つ。 * $I$ において $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加である。 * $f(x)$ は $I$ において $f'(x) > 0$ かつ $f(a) = 0$ ならば、$f(b) > 0$ である。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は閉区間 $\bar{I}$ で連続、開区間 $I$ で微分可能とする。ここで、$I = (a, b)$、$\bar{I} = [a, b]$ である。以下の選択肢から正しいものをすべて選ぶ。

選択肢は以下の通り：

* $f(x)$ が $\bar{I}$ において単調増加であるための必要十分条件は、$I$ において $f'(x) \geq 0$ が成り立つことである。

* $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7$ は閉区間 $[-1, 2]$ において単調増加である。

* $f(x)$ が $\bar{I}$ で狭義単調減少ならば、$I$ 上で $f'(x) < 0$ が成り立つ。

* $I$ において $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加である。

* $f(x)$ は $I$ において $f'(x) > 0$ かつ $f(a) = 0$ ならば、$f(b) > 0$ である。

2. 解き方の手順

* **選択肢1:** $f(x)$ が $\bar{I}$ において単調増加であるための必要十分条件は、$I$ において $f'(x) \geq 0$ が成り立つことである。これは正しい。

* **選択肢2:** $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7$ について、$g'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$。$g'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 2$ のとき。$g'(x)$ の符号は、$x < -1$ で正、$-1 < x < 2$ で負、$x > 2$ で正。したがって、$g(x)$ は $[-1, 2]$ で単調減少である。よって、この選択肢は誤り。

* **選択肢3:** $f(x)$ が $\bar{I}$ で狭義単調減少ならば、$I$ 上で $f'(x) < 0$ が成り立つ。これは正しい。

* **選択肢4:** $I$ において $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加である。これは正しい。

* **選択肢5:** $f(x)$ は $I$ において $f'(x) > 0$ かつ $f(a) = 0$ ならば、$f(b) > 0$ である。$f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ は単調増加であり、$a < b$ なので、$f(a) < f(b)$。$f(a) = 0$ なので、$0 < f(b)$。したがって、$f(b) > 0$。よって、この選択肢は正しい。

3. 最終的な答え

正しい選択肢は、

* f(x)がIにおいて単調増加であるための必要十分条件は、Iにおいてf'(x) ≥ 0が成り立つことである。

* f(x)がIで狭義単調減少ならば、I上でf'(x) < 0が成り立つ。

* Iにおいてf'(x) > 0ならば、f(x)はIで狭義単調増加である。

* f(x)はIにおいてf'(x) > 0かつf(a) = 0ならば、f(b) > 0である。