定積分 $\int_{0}^{2\sqrt{2}} \sqrt{16-x^2} dx$ を計算します。

## 問題2 (1)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\sqrt{2}} \sqrt{16-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x = 4\sin\theta$ と置換します。

$dx = 4\cos\theta d\theta$ となります。

積分範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$\sin\theta = 0$ なので $\theta = 0$。

$x = 2\sqrt{2}$ のとき、$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので $\theta = \frac{\pi}{4}$。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{2\sqrt{2}} \sqrt{16-x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{16-16\sin^2\theta} \cdot 4\cos\theta d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4\cos\theta \cdot 4\cos\theta d\theta = 16 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ を用いて、

$16 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1+\cos2\theta) d\theta$

$= 8 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 8 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} - 0 \right)$

$= 8 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) = 2\pi + 4$

3. 最終的な答え

$2\pi + 4$

## 問題2 (2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (\frac{1-\cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)$

さらに $\cos^2 2x = \frac{1+\cos 4x}{2}$ なので、

$\sin^4 x = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \frac{1+\cos 4x}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x) dx$

$= \left[ \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin \pi + \frac{1}{32}\sin 2\pi - 0 = \frac{3\pi}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{16}$