与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の6つの数列の極限を $n \to \infty$ で求める必要があります。 (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3}$ (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{3^n - 4}$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{4^n}{3^n + 5}$ (4) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n - (-3)^{n+1}}{(-3)^n + 2^n}$ (5) $\lim_{n\to\infty} (7^n - 6^n)$ (6) $\lim_{n\to\infty} ((-3)^n - 5^n)$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の6つの数列の極限を $n \to \infty$ で求める必要があります。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3}$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{3^n - 4}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{4^n}{3^n + 5}$

(4) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n - (-3)^{n+1}}{(-3)^n + 2^n}$

(5) $\lim_{n\to\infty} (7^n - 6^n)$

(6) $\lim_{n\to\infty} ((-3)^n - 5^n)$

2. 解き方の手順

各問題について、以下のように極限を求めます。

(1) 分母と分子を $2^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3} = \lim_{n\to\infty} \frac{3 - \frac{5}{2^n}}{1 + \frac{3}{2^n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{5}{2^n} \to 0$ および $\frac{3}{2^n} \to 0$ となるので、極限は $\frac{3-0}{1+0} = 3$ です。

(2) 分母と分子を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{3^n - 4} = \lim_{n\to\infty} \frac{(\frac{2}{3})^n}{1 - \frac{4}{3^n}}$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{2}{3})^n \to 0$ および $\frac{4}{3^n} \to 0$ となるので、極限は $\frac{0}{1-0} = 0$ です。

(3) 分母と分子を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{4^n}{3^n + 5} = \lim_{n\to\infty} \frac{(\frac{4}{3})^n}{1 + \frac{5}{3^n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{5}{3^n} \to 0$ であり、$(\frac{4}{3})^n \to \infty$ となるので、極限は $\frac{\infty}{1+0} = \infty$ です。

(4) 分母と分子を $(-3)^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{2^n - (-3)^{n+1}}{(-3)^n + 2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(\frac{2}{-3})^n - (-3)}{1 + (\frac{2}{-3})^n}$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{2}{-3})^n \to 0$ となるので、極限は $\frac{0 - (-3)}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3$ です。

(5) $7^n$ でくくります。

$\lim_{n\to\infty} (7^n - 6^n) = \lim_{n\to\infty} 7^n(1 - (\frac{6}{7})^n)$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{6}{7})^n \to 0$ であり、$7^n \to \infty$ となるので、極限は $\infty \cdot (1-0) = \infty$ です。

(6) $5^n$ でくくります。

$\lim_{n\to\infty} ((-3)^n - 5^n) = \lim_{n\to\infty} 5^n((\frac{-3}{5})^n - 1)$

$n \to \infty$ のとき、$5^n \to \infty$ であり、$|\frac{-3}{5}| < 1$ より $(\frac{-3}{5})^n \to 0$ となるので、極限は $\infty \cdot (0 - 1) = -\infty$ です。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 0

(3) $\infty$

(4) 3

(5) $\infty$

(6) $-\infty$