曲線 $y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$ 上の点Pにおける接線の傾きが1になるとき、点Pの $y$ 座標を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$ 上の点Pにおける接線の傾きが1になるとき、点Pの $y$ 座標を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線 $y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$ を $x$ で微分して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})$

問題文より、接線の傾きが1になるので、

$\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) = 1$

これを解いて、$x$ の値を求めます。

$e^x - e^{-x} = 2$

両辺に $e^x$ をかけると、

$(e^x)^2 - 1 = 2e^x$

$(e^x)^2 - 2e^x - 1 = 0$

$e^x = t$ とおくと、

$t^2 - 2t - 1 = 0$

これを解くと、$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$e^x > 0$ より、$e^x = 1 + \sqrt{2}$

したがって、$x = \log(1 + \sqrt{2})$

次に、この $x$ の値を元の曲線 $y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$ に代入して、$y$ 座標を求めます。

$y = \frac{1}{2}(e^{\log(1 + \sqrt{2})} + e^{-\log(1 + \sqrt{2})})$

$y = \frac{1}{2}((1 + \sqrt{2}) + \frac{1}{1 + \sqrt{2}})$

$y = \frac{1}{2}((1 + \sqrt{2}) + \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}})$

$y = \frac{1}{2}((1 + \sqrt{2}) + \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2})$

$y = \frac{1}{2}((1 + \sqrt{2}) + (-1 + \sqrt{2}))$

$y = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2}) = \frac{1}{2}(2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$