関数 $f(x,y)$ が以下のように定義されています。 $f(x,y) = \begin{cases} |x|^\alpha |y|^\beta & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ ただし、$\alpha, \beta > 0$ です。 (1) $x$軸との角度が$\theta$である方向$\ell$に沿った方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)$ が存在するような$\alpha, \beta$の条件を求め、そのときの $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)$ の値を求めます。 (2) $f(x,y)$が全微分可能となる$\alpha, \beta$の条件を求めます。

## 問題4

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が以下のように定義されています。

$f(x,y) = \begin{cases} |x|^\alpha |y|^\beta & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

ただし、$\alpha, \beta > 0$ です。

(1) $x$軸との角度が$\theta$である方向$\ell$に沿った方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)$ が存在するような$\alpha, \beta$の条件を求め、そのときの $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)$ の値を求めます。

(2) $f(x,y)$が全微分可能となる$\alpha, \beta$の条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 方向微分係数の存在条件を求めます。方向ベクトル $\vec{u} = (\cos \theta, \sin \theta)$ に沿った方向微分係数は次のように定義されます。

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0,0)}{t}$

$f(0,0) = 0$ より、

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{|t\cos\theta|^\alpha |t\sin\theta|^\beta}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|^{\alpha+\beta} |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta}{t}$

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} |t|^{\alpha+\beta-1} (\text{sgn}(t)) |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta$

この極限が存在するためには、$\alpha + \beta - 1 > 0$ すなわち $\alpha + \beta > 1$ が必要です。

このとき、

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = 0$

ただし、$\theta = 0$ または $\theta = \pi/2$ のときは、極限は常に存在します。$\theta = 0$のとき $\sin \theta = 0$ なので方向微分係数は0になります。$\theta = \pi / 2$ のとき $\cos \theta = 0$ なので方向微分係数は0になります。

(2) 全微分可能性を調べます。全微分可能であるためには、まず偏微分係数が存在する必要があります。

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^\alpha |0|^\beta}{h} = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{|0|^\alpha |k|^\beta}{k} = 0$

したがって、

$f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$

全微分可能であるとは、以下の式が成り立つことです。

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|h|^\alpha |k|^\beta}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

$h = r\cos\theta$, $k = r\sin\theta$ とおくと、

$\lim_{r \to 0} \frac{|r\cos\theta|^\alpha |r\sin\theta|^\beta}{r} = \lim_{r \to 0} r^{\alpha + \beta - 1} |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta = 0$

この極限が成り立つためには、$\alpha + \beta - 1 > 0$ つまり $\alpha + \beta > 1$ が必要です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)$ が存在するための条件は $\alpha + \beta > 1$ です。そのとき $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = 0$ です。

(2) $f(x,y)$が全微分可能となる条件は $\alpha + \beta > 1$ です。