定積分 $\int_{-1}^{2} (-x^2 + 5x - 4) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (-x^2 + 5x - 4) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

$\int (-x^2 + 5x - 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x + C$

次に、積分範囲である $-1$ から $2$ までの定積分を計算します。

まず、$x=2$ を代入します。

$-\frac{2^3}{3} + \frac{5(2^2)}{2} - 4(2) = -\frac{8}{3} + \frac{20}{2} - 8 = -\frac{8}{3} + 10 - 8 = 2 - \frac{8}{3} = \frac{6}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}$

次に、$x=-1$ を代入します。

$-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{5(-1)^2}{2} - 4(-1) = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} + 4 = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} + \frac{12}{3} + \frac{24}{6} = \frac{2}{6} + \frac{15}{6} + \frac{24}{6} = \frac{41}{6}$

最後に、上の結果から下の結果を引きます。

$-\frac{2}{3} - \frac{41}{6} = -\frac{4}{6} - \frac{41}{6} = -\frac{45}{6} = -\frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{15}{2}$