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定積分 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 1) \, dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算
2025/6/27

1. 問題の内容

定積分 ∫13(3x2−1) dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 1) \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 3x2−13x^2 - 1 の不定積分を求めます。
∫(3x2−1) dx=3∫x2 dx−∫1 dx=3⋅x33−x+C=x3−x+C\int (3x^2 - 1) \, dx = 3 \int x^2 \, dx - \int 1 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - x + C = x^3 - x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、定積分を計算します。不定積分を F(x)=x3−xF(x) = x^3 - x とおくと、
∫13(3x2−1) dx=F(3)−F(1)=(33−3)−(13−1)=(27−3)−(1−1)=24−0=24\int_{1}^{3} (3x^2 - 1) \, dx = F(3) - F(1) = (3^3 - 3) - (1^3 - 1) = (27 - 3) - (1 - 1) = 24 - 0 = 24

3. 最終的な答え

24

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