問題は2つのパート（2Aと2B）から構成されています。 * 2A: 関数 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ について、与えられた点での微分可能性、接平面の方程式、法線の方程式を求める問題です。 * 2B: 関数 $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ について、全微分を求め、さらに $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ で変数変換した後の全微分を求める問題です。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は2つのパート（2Aと2B）から構成されています。

* 2A: 関数 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ について、与えられた点での微分可能性、接平面の方程式、法線の方程式を求める問題です。

* 2B: 関数 $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ について、全微分を求め、さらに $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ で変数変換した後の全微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

**2A**

(1) 点(4,-3)において、$f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ が微分可能であるか調べる。

偏微分を計算します。

$f_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$f_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

点(4, -3)における偏微分の値を計算します。

$f_x(4, -3) = \frac{4}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{4}{5}$

$f_y(4, -3) = \frac{-3}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = -\frac{3}{5}$

偏導関数がともに存在し、連続なので、全微分可能です。

(2) 点P(4, -3, 5)における接平面の方程式を求める。

接平面の方程式は次のように与えられます。

$z - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

$f(4, -3) = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$

上記で求めた$f_x(4, -3) = \frac{4}{5}$、$f_y(4, -3) = -\frac{3}{5}$を使用します。

$z - 5 = \frac{4}{5}(x - 4) - \frac{3}{5}(y + 3)$

$5z - 25 = 4x - 16 - 3y - 9$

$4x - 3y - 5z = 0$

(3) 点P(4, -3, 5)における法線の方程式を求める。

法線ベクトルは、接平面の法線ベクトルと同じであり、$\langle f_x(4, -3), f_y(4, -3), -1 \rangle = \langle \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}, -1 \rangle$ となります。

もしくは $\langle 4, -3, -5 \rangle$も法線ベクトルとなります。

したがって、法線の方程式は次のようになります。

$\frac{x - 4}{4} = \frac{y + 3}{-3} = \frac{z - 5}{-5}$

**2B**

(1) 関数 $z = f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ の全微分 $dz$ を求める。

$f_x = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

$f_y = \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

したがって、全微分 $dz$ は次のようになります。

$dz = f_x dx + f_y dy = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} dx + \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} dy$

$dz = \frac{-x dx - y dy}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

(2) $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ と与えられたとき、全微分 $dz$ を $r, \theta, dr, d\theta$ で表す。

$dx = \frac{\partial x}{\partial r} dr + \frac{\partial x}{\partial \theta} d\theta = \cos\theta dr - r\sin\theta d\theta$

$dy = \frac{\partial y}{\partial r} dr + \frac{\partial y}{\partial \theta} d\theta = \sin\theta dr + r\cos\theta d\theta$

$x^2 + y^2 = r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2$

$dz = \frac{-x dx - y dy}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} = \frac{-(r\cos\theta)(\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta) - (r\sin\theta)(\sin\theta dr + r\cos\theta d\theta)}{\sqrt{1 - r^2}}$

$dz = \frac{-r(\cos^2\theta + \sin^2\theta)dr + r^2(\cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta) d\theta}{\sqrt{1 - r^2}}$

$dz = \frac{-r dr}{\sqrt{1 - r^2}}$

3. 最終的な答え

**2A**

(1) 全微分可能である。

(2) 接平面の方程式: $4x - 3y - 5z = 0$

(3) 法線の方程式: $\frac{x - 4}{4} = \frac{y + 3}{-3} = \frac{z - 5}{-5}$

**2B**

(1) 全微分: $dz = \frac{-x dx - y dy}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

(2) $r, \theta$ での全微分: $dz = \frac{-r dr}{\sqrt{1 - r^2}}$