関数 $f(x) = e^{-ax} + x$ が与えられている。ただし、$a$ は正の数とする。 (1) $f(x)$ の最小値を与える $x$ の値を $a$ を用いて表せ。 (2) $f(x)$ の最小値を $m(a)$ とおく。$m(a)$ を求めよ。 (3) $a$ が $a > 0$ の範囲で動くとき、$m(a)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-ax} + x$ が与えられている。ただし、$a$ は正の数とする。

(1) $f(x)$ の最小値を与える $x$ の値を $a$ を用いて表せ。

(2) $f(x)$ の最小値を $m(a)$ とおく。$m(a)$ を求めよ。

(3) $a$ が $a > 0$ の範囲で動くとき、$m(a)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の最小値を求めるために、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = -ae^{-ax} + 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-ae^{-ax} + 1 = 0$

$ae^{-ax} = 1$

$e^{-ax} = \frac{1}{a}$

$-ax = \ln(\frac{1}{a})$

$-ax = -\ln a$

$x = \frac{\ln a}{a}$

$f''(x) = a^2e^{-ax} > 0$ なので、$x = \frac{\ln a}{a}$ で最小値を取る。

(2) $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求める。$x = \frac{\ln a}{a}$ を $f(x)$ に代入する。

$m(a) = f(\frac{\ln a}{a}) = e^{-a(\frac{\ln a}{a})} + \frac{\ln a}{a} = e^{-\ln a} + \frac{\ln a}{a} = \frac{1}{a} + \frac{\ln a}{a} = \frac{1+\ln a}{a}$

(3) $m(a)$ の最大値を求めるために、$m(a)$ を微分して、$m'(a)$ を求める。

$m'(a) = \frac{\frac{1}{a} \cdot a - (1+\ln a) \cdot 1}{a^2} = \frac{1 - 1 - \ln a}{a^2} = \frac{-\ln a}{a^2}$

$m'(a) = 0$ となる $a$ を求める。

$\frac{-\ln a}{a^2} = 0$

$-\ln a = 0$

$\ln a = 0$

$a = 1$

$a < 1$ のとき $m'(a) > 0$ であり、$a > 1$ のとき $m'(a) < 0$ であるから、$a=1$ で $m(a)$ は最大となる。

したがって、$m(a)$ の最大値は $m(1) = \frac{1 + \ln 1}{1} = \frac{1+0}{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\ln a}{a}$

(2) $m(a) = \frac{1+\ln a}{a}$

(3) $1$