関数 $y = xe^x$ のグラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^x$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数の定義域を確認します。この関数はすべての実数 $x$ に対して定義されています。

次に、導関数を計算して、関数の増減を調べます。

$y' = \frac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$(x+1)e^x = 0$

$e^x > 0$ なので、$x+1 = 0$ より、$x = -1$

増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... |

|------|------|------|------|

| y' | - | 0 | + |

| y | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = -1$ のとき、$y = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$

次に、2階導関数を計算して、関数の凹凸を調べます。

$y'' = \frac{d}{dx}((x+1)e^x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

$y'' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$(x+2)e^x = 0$

$e^x > 0$ なので、$x+2 = 0$ より、$x = -2$

凹凸を調べます。

| x | ... | -2 | ... |

|------|------|------|------|

| y'' | - | 0 | + |

| y | 上に凸 | 変曲点 | 下に凸 |

$x = -2$ のとき、$y = -2 \cdot e^{-2} = -\frac{2}{e^2}$

次に、極限を調べます。

$\lim_{x \to \infty} xe^x = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ (ロピタルの定理を使うか、$x \to -\infty$ で $e^x$ の減少速度が $x$ の増加速度より速いことを利用)

以上の情報から、グラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形は以下のようになります。

- 定義域：すべての実数

- $x=-1$ で極小値 $-\frac{1}{e}$ をとる。

- $x=-2$ で変曲点 $(-\frac{2}{e^2})$ をとる。

- $x \to \infty$ で $y \to \infty$

- $x \to -\infty$ で $y \to 0$