以下の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} (1 + (-1)^n)$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} (1 + (-1)^n)$

2. 解き方の手順

まず、$(-1)^n$ の振る舞いを考えます。

$n$ が偶数のとき、$(-1)^n = 1$ となり、

$n$ が奇数のとき、$(-1)^n = -1$ となります。

したがって、

$n$ が偶数のとき、$\frac{1}{2} (1 + (-1)^n) = \frac{1}{2} (1 + 1) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ となり、

$n$ が奇数のとき、$\frac{1}{2} (1 + (-1)^n) = \frac{1}{2} (1 + (-1)) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$ となります。

数列 $\{\frac{1}{2}(1 + (-1)^n)\}$ は、1, 0, 1, 0, ... と振動します。

したがって、この数列は収束しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しません。