与えられた数列 $a_n$ が収束するかどうかを調べ、収束する場合はその極限値を求める問題です。ここでは、問題番号 (8) の数列 $a_n = \frac{4n-1}{2\sqrt{n}-1}$ について解きます。

1. 問題の内容

与えられた数列 $a_n$ が収束するかどうかを調べ、収束する場合はその極限値を求める問題です。ここでは、問題番号 (8) の数列 $a_n = \frac{4n-1}{2\sqrt{n}-1}$ について解きます。

2. 解き方の手順

数列 $a_n = \frac{4n-1}{2\sqrt{n}-1}$ の極限を求めるために、$n \to \infty$ のときの挙動を調べます。

$a_n$ の分子と分母をそれぞれ $\sqrt{n}$ で割ります。

$a_n = \frac{\frac{4n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{4\sqrt{n}-\frac{1}{\sqrt{n}}}{2-\frac{1}{\sqrt{n}}}$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n} \to \infty$ であり、$\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{4\sqrt{n}-\frac{1}{\sqrt{n}}}{2-\frac{1}{\sqrt{n}}}$

分子は $\infty$ に発散し、分母は $2$ に収束するため、$a_n$ は $\infty$ に発散します。

3. 最終的な答え

数列 $a_n = \frac{4n-1}{2\sqrt{n}-1}$ は発散します。したがって極限は存在しません。

$\lim_{n\to\infty} \frac{4n-1}{2\sqrt{n}-1} = \infty$