## 問題

## 問題

与えられた4つの関数のグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \frac{x^3 - 2x^2 + 4}{x^2}$

(2) $y = \frac{x}{x^2 - 1}$

(3) $y = \frac{x^3}{(x-1)^2}$

(4) $y = e^{-x^2}$

## 解き方の手順

各関数について、グラフの概形を描くために以下の手順で解析します。

1. 定義域の確認：分母が0にならない範囲を調べる。

2. 対称性の確認：偶関数（$f(x) = f(-x)$）、奇関数（$f(-x) = -f(x)$）かどうかを調べる。

3. 漸近線の確認：垂直漸近線（定義域の端）、水平漸近線（$x \to \pm \infty$）、斜め漸近線（$x \to \pm \infty$で $y = ax + b$ に近づく場合）を調べる。

4. 増減表の作成：微分して、増減を調べる。

5. グラフのプロット：得られた情報を基にグラフをプロットする。

**(1) $y = \frac{x^3 - 2x^2 + 4}{x^2}$**

1. 定義域：$x \ne 0$

2. 対称性：偶関数でも奇関数でもない。

3. 漸近線：

* 垂直漸近線：$x=0$ ( $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 2x^2 + 4}{x^2} = \infty$)

* 斜め漸近線：$y = x - 2$ ( $\lim_{x \to \infty} (\frac{x^3 - 2x^2 + 4}{x^2} - (x - 2)) = 0$)

$y = \frac{x^3 - 2x^2 + 4}{x^2} = x - 2 + \frac{4}{x^2}$

4. 増減表：

$y' = \frac{x^2(3x^2 - 4x) - 2x(x^3 - 2x^2 + 4)}{x^4} = \frac{x^4-8x}{x^4} = \frac{x^3-8}{x^3}$

$y' = 0$ となるのは $x = 2$

$x < 0$ で $y' > 0$, $0 < x < 2$ で $y' < 0$, $x > 2$ で $y' > 0$

$x = 2$ で極小値 $y = \frac{8 - 8 + 4}{4} = 1$ を取る。

5. グラフ：

$x = 0$ で垂直漸近線、$y = x - 2$ で斜め漸近線を持つ。

$x = 2$ で極小値1を持つ。

**(2) $y = \frac{x}{x^2 - 1}$**

1. 定義域：$x \ne \pm 1$

2. 対称性：奇関数 ($f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x}{x^2 - 1} = -f(x)$)

3. 漸近線：

* 垂直漸近線：$x = \pm 1$

* 水平漸近線：$y = 0$ ( $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0$)

4. 増減表：

$y' = \frac{(x^2 - 1) - x(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = -\frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} < 0$

常に減少関数。

5. グラフ：

$x = \pm 1$ で垂直漸近線、$y = 0$ で水平漸近線を持つ。

原点に関して対称。

**(3) $y = \frac{x^3}{(x-1)^2}$**

1. 定義域：$x \ne 1$

2. 対称性：偶関数でも奇関数でもない。

3. 漸近線：

* 垂直漸近線：$x = 1$

* 斜め漸近線：$y = x + 2$

$\frac{x^3}{(x-1)^2} = \frac{x^3}{x^2 - 2x + 1} = x + 2 + \frac{3x - 2}{x^2 - 2x + 1}$

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x^3}{(x-1)^2} - (x + 2)) = 0$

4. 増減表：

$y' = \frac{(x-1)^2 \cdot 3x^2 - x^3 \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{(x-1)3x^2 - 2x^3}{(x-1)^3} = \frac{3x^3 - 3x^2 - 2x^3}{(x-1)^3} = \frac{x^3 - 3x^2}{(x-1)^3} = \frac{x^2(x - 3)}{(x-1)^3}$

$y' = 0$ となるのは $x = 0, 3$

$x < 0$ で $y' < 0$, $0 < x < 1$ で $y' < 0$, $1 < x < 3$ で $y' < 0$, $x > 3$ で $y' > 0$

$x = 0$ で $y = 0$ (停留点), $x = 3$ で極小値 $y = \frac{27}{4}$ を取る。

5. グラフ：

$x = 1$ で垂直漸近線、$y = x + 2$ で斜め漸近線を持つ。

$x = 3$ で極小値$\frac{27}{4}$ を持つ。

**(4) $y = e^{-x^2}$**

1. 定義域：全ての実数

2. 対称性：偶関数 ($f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$)

3. 漸近線：

* 水平漸近線：$y = 0$ ( $\lim_{x \to \infty} e^{-x^2} = 0$)

4. 増減表：

$y' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = 0$

$x < 0$ で $y' > 0$, $x > 0$ で $y' < 0$

$x = 0$ で極大値 $y = 1$ を取る。

5. グラフ：

$y = 0$ で水平漸近線を持つ。

$x = 0$ で極大値1を持つ。

偶関数なので、y軸に関して対称。

## 最終的な答え

各関数のグラフの概形は上記の手順と解析に基づき描画できます。 具体的なグラフの描画は省略しますが、上記の解析結果（定義域、対称性、漸近線、増減）を基に、グラフソフトなどを用いて描画できます。