関数 $f(x, y)$ が以下のように定義されている。 $f(x, y) = \begin{cases} |x|^{\alpha} |y|^{\beta} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ ここで、$\alpha > 0$, $\beta > 0$ である。 (1) $x$軸との角度 $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) である方向を $l$ とする。点 $(0, 0)$ で方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ が存在するための $\alpha$, $\beta$ の条件を求め、そのときの $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ の値を求めよ。 (2) $f(x, y)$ が (全) 微分可能となる $\alpha$, $\beta$ の条件を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ が以下のように定義されている。

$f(x, y) = \begin{cases} |x|^{\alpha} |y|^{\beta} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

ここで、$\alpha > 0$, $\beta > 0$ である。

(1) $x$軸との角度 $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) である方向を $l$ とする。点 $(0, 0)$ で方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ が存在するための $\alpha$, $\beta$ の条件を求め、そのときの $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ の値を求めよ。

(2) $f(x, y)$ が (全) 微分可能となる $\alpha$, $\beta$ の条件を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ の存在条件と値を求める。方向 $l$ の単位ベクトルを $\mathbf{u} = (\cos \theta, \sin \theta)$ とすると、方向微分係数は以下のように定義される。

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \theta, t \sin \theta) - f(0, 0)}{t}$

$f(0, 0) = 0$ なので、

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{|t \cos \theta|^{\alpha} |t \sin \theta|^{\beta}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|^{\alpha + \beta} |\cos \theta|^{\alpha} |\sin \theta|^{\beta}}{t} = \lim_{t \to 0} |t|^{\alpha + \beta - 1} |\cos \theta|^{\alpha} |\sin \theta|^{\beta} \frac{t}{|t|}$

この極限が存在するためには、$\alpha + \beta - 1 > 0$, つまり $\alpha + \beta > 1$ が必要である。このとき、極限は 0 となる。

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = 0$

$\theta = 0, \pi$ のとき $\sin \theta = 0$ であり、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ のとき $\cos \theta = 0$ である。

この場合でも $\alpha + \beta > 1$ であれば、極限は 0 となる。

(2) $f(x, y)$ が $(0, 0)$ で全微分可能であるための条件を求める。全微分可能であるためには、まず偏微分係数が存在する必要がある。

$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^{\alpha} |0|^{\beta}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{|0|^{\alpha} |k|^{\beta}}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0$

よって、偏微分係数は常に存在し、$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = 0$, $\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0$ である。

次に、全微分可能性の定義を確認する。

$f(x, y)$ が $(0, 0)$ で全微分可能であるとは、

$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(h, k) - f(0, 0) - \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) h - \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

が成り立つことである。

$f(0, 0) = 0$, $\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = 0$, $\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0$ より、

$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{|h|^{\alpha} |k|^{\beta}}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

を確かめる。

$h = r \cos \theta$, $k = r \sin \theta$ とおくと、

$\lim_{r \to 0} \frac{|r \cos \theta|^{\alpha} |r \sin \theta|^{\beta}}{\sqrt{r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}} = \lim_{r \to 0} \frac{r^{\alpha + \beta} |\cos \theta|^{\alpha} |\sin \theta|^{\beta}}{r} = \lim_{r \to 0} r^{\alpha + \beta - 1} |\cos \theta|^{\alpha} |\sin \theta|^{\beta}$

この極限が 0 となるためには、$\alpha + \beta - 1 > 0$, つまり $\alpha + \beta > 1$ が必要である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ が存在するための条件は $\alpha + \beta > 1$ であり、そのときの値は $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = 0$ である。

(2) $f(x, y)$ が (全) 微分可能となるための条件は $\alpha + \beta > 1$ である。