以下の2つの関数 $f(x, y)$ が点 $(0, 0)$ で全微分可能かどうかを調べる問題です。 (1) $ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $ (2) $ f(x, y) = \begin{cases} xy \arcsin{\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の2つの関数 $f(x, y)$ が点 $(0, 0)$ で全微分可能かどうかを調べる問題です。

(1)

$$

f(x, y) =

\begin{cases}

\frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}

$$

(2)

$$

f(x, y) =

\begin{cases}

xy \arcsin{\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

全微分可能性を調べるには、以下の手順を踏みます。

(1) 偏微分係数 $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。

(2) $f(x, y)$ が全微分可能であるとき、以下の式が成り立つ必要があります。

$$

\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(h, k) - f(0, 0) - f_x(0, 0)h - f_y(0, 0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0

$$

この極限が0になるかどうかを調べます。

(1) の関数 $f(x, y)$ について

(1) $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める:

$$

f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0

$$

$$

f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0

$$

したがって、$f_x(0, 0) = 0$ , $f_y(0, 0) = 0$

(2) 極限を調べる:

$$

\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(h, k) - f(0, 0) - f_x(0, 0)h - f_y(0, 0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{\frac{h|k|}{\sqrt{h^2 + k^2}} - 0 - 0 - 0}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{h|k|}{h^2 + k^2}

$$

$h = r\cos{\theta}, k = r\sin{\theta}$ とおくと、

$$

\lim_{r \to 0} \frac{r\cos{\theta}|r\sin{\theta}|}{r^2} = \lim_{r \to 0} \frac{r^2\cos{\theta}|\sin{\theta}|}{r^2} = \lim_{r \to 0} \cos{\theta}|\sin{\theta}| = \cos{\theta}|\sin{\theta}|

$$

この極限は $\theta$ に依存するので、0に収束しません。

(2) の関数 $f(x, y)$ について

(1) $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める:

$$

f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0

$$

$$

f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0

$$

したがって、$f_x(0, 0) = 0$ , $f_y(0, 0) = 0$

(2) 極限を調べる:

$$

\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(h, k) - f(0, 0) - f_x(0, 0)h - f_y(0, 0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{hk \arcsin{\frac{h^2 - k^2}{h^2 + k^2}}}{\sqrt{h^2 + k^2}}

$$

$h = r\cos{\theta}, k = r\sin{\theta}$ とおくと、

$$

\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos{\theta}\sin{\theta} \arcsin{\frac{r^2(\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta})}{r^2}}}{\sqrt{r^2}} = \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos{\theta}\sin{\theta} \arcsin(\cos{2\theta})}{r} = \lim_{r \to 0} r \cos{\theta}\sin{\theta} \arcsin(\cos{2\theta}) = 0

$$

したがって、極限は 0 に収束します。

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で全微分可能ではない。

(2) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で全微分可能である。