与えられた2つの関数 $f(x,y)$ が点 $(0,0)$ で全微分可能かどうかを調べます。 (1) $ f(x,y) = \begin{cases} \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} $ (2) $ f(x,y) = \begin{cases} xy\arcsin{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x,y)$ が点 $(0,0)$ で全微分可能かどうかを調べます。

(1)

$ f(x,y) = \begin{cases}

\frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\

0 & (x,y) = (0,0)

\end{cases} $

(2)

$ f(x,y) = \begin{cases}

xy\arcsin{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\

0 & (x,y) = (0,0)

\end{cases} $

2. 解き方の手順

(1) の場合

まず、偏微分係数を計算します。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

次に、全微分可能性を調べます。全微分可能であるための条件は、

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$

が成立することです。

この場合、

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{\frac{|hk|}{\sqrt{h^2+k^2}} - 0 - 0\cdot h - 0\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|hk|}{h^2+k^2}$

ここで、 $h=r\cos\theta$, $k=r\sin\theta$ と極座標変換すると、

$\lim_{r \to 0} \frac{|r\cos\theta \cdot r\sin\theta|}{r^2} = \lim_{r \to 0} |\cos\theta \sin\theta| = |\cos\theta \sin\theta|$

この値は $\theta$ に依存するので、極限は存在しません。よって、全微分可能ではありません。

(2) の場合

まず、偏微分係数を計算します。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h\cdot 0 \cdot \arcsin(1) - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0\cdot k \cdot \arcsin(-1) - 0}{k} = 0$

次に、全微分可能性を調べます。全微分可能であるための条件は、

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$

が成立することです。

この場合、

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{hk\arcsin{\frac{h^2-k^2}{h^2+k^2}} - 0 - 0\cdot h - 0\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{hk\arcsin{\frac{h^2-k^2}{h^2+k^2}}}{\sqrt{h^2+k^2}}$

ここで、 $h=r\cos\theta$, $k=r\sin\theta$ と極座標変換すると、

$\lim_{r \to 0} \frac{r^2\cos\theta\sin\theta\arcsin(\frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{r^2})}{\sqrt{r^2}} = \lim_{r \to 0} r\cos\theta\sin\theta\arcsin(\cos2\theta) = 0$

なぜなら、 $\arcsin(\cos 2\theta)$ は有界だからです。

よって、(2)は全微分可能です。

3. 最終的な答え

(1) 全微分可能ではない。

(2) 全微分可能である。