関数 $f(x,y)$ が次のように定義されている。 $f(x,y) = \begin{cases} |x|^\alpha |y|^\beta & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ ここで、$\alpha, \beta > 0$ である。 (1) x軸との角度 $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) である方向を $l$ とする。点 $(0,0)$ で方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0,0)$ が存在する $\alpha, \beta$ の条件を求め、そのときの $\frac{\partial f}{\partial l}(0,0)$ の値を求めよ。 (2) $f(x,y)$ が (全) 微分可能となる $\alpha, \beta$ の条件を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が次のように定義されている。

$f(x,y) = \begin{cases} |x|^\alpha |y|^\beta & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

ここで、$\alpha, \beta > 0$ である。

(1) x軸との角度 $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) である方向を $l$ とする。点 $(0,0)$ で方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0,0)$ が存在する $\alpha, \beta$ の条件を求め、そのときの $\frac{\partial f}{\partial l}(0,0)$ の値を求めよ。

(2) $f(x,y)$ が (全) 微分可能となる $\alpha, \beta$ の条件を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 方向微分係数を求める。

$\frac{\partial f}{\partial l}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h\cos\theta, h\sin\theta) - f(0,0)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{|h\cos\theta|^\alpha |h\sin\theta|^\beta}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{|h|^{\alpha + \beta} |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta}{h}$

$= |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta \lim_{h \to 0} \frac{|h|^{\alpha + \beta}}{h}$

この極限が存在するためには、$\alpha + \beta > 1$ である必要がある。その時、

$\frac{|h|^{\alpha + \beta}}{h} = \frac{|h|^{\alpha + \beta}}{|h|} \cdot \frac{|h|}{h} = |h|^{\alpha + \beta - 1} \cdot \frac{|h|}{h}$

$h \to 0$ としたとき、もし $h>0$ なら$\frac{|h|}{h}=1$、もし $h<0$ なら$\frac{|h|}{h}=-1$。

したがって $\alpha + \beta > 1$ のとき $\frac{\partial f}{\partial l}(0,0) = 0$。

$\alpha + \beta \leq 1$のとき方向微分は存在しない。

(2) $f(x,y)$ が全微分可能となる条件を求める。

$f(x,y)$ が全微分可能であるためには、まず偏微分可能である必要がある。

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^\alpha \cdot 0}{h} = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 \cdot |k|^\beta}{k} = 0$

次に、全微分可能性の定義を考える。全微分可能であるとは、

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h - \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

が成立することである。

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|h|^\alpha |k|^\beta}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

$h = r\cos\theta, k = r\sin\theta$ とおくと、

$\lim_{r \to 0} \frac{|r\cos\theta|^\alpha |r\sin\theta|^\beta}{r} = \lim_{r \to 0} r^{\alpha + \beta - 1} |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta = 0$

これが成り立つためには、$\alpha + \beta > 1$ が必要である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial l}(0,0)$ が存在する条件は $\alpha + \beta > 1$ であり、そのとき $\frac{\partial f}{\partial l}(0,0) = 0$。

(2) $f(x,y)$ が全微分可能となる条件は $\alpha + \beta > 1$。