与えられた数列の和を求める問題です。数列は $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は

$\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

で表されます。

2. 解き方の手順

この数列の各項は、部分分数分解を用いて計算できます。一般項を次のように分解します。

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{A}{3k-2} + \frac{B}{3k+1}$

両辺に$(3k-2)(3k+1)$をかけると、

$1 = A(3k+1) + B(3k-2)$

$k = \frac{2}{3}$を代入すると、$1 = A(3 \cdot \frac{2}{3} + 1) + B(0)$より、$1 = 3A$なので、$A = \frac{1}{3}$。

$k = -\frac{1}{3}$を代入すると、$1 = A(0) + B(3 \cdot (-\frac{1}{3}) - 2)$より、$1 = -3B$なので、$B = -\frac{1}{3}$。

したがって、

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

与えられた数列の和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

$= \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \right]$

この和は、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆる「telescoping sum（望遠鏡和）」の形になります。

$S_n = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{3n+1} \right)$

$S_n = \frac{n}{3n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{3n+1}$