以下の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} \frac{(1 + 2 + 3 + ... + n)^3}{(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)^2}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{(1 + 2 + 3 + ... + n)^3}{(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)^2}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母の和をそれぞれ公式を使って簡単にします。

分子:

$1 + 2 + 3 + ... + n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

分母:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらを用いて極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{(1 + 2 + 3 + ... + n)^3}{(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^3}{(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})^2}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3(n+1)^3}{8}}{\frac{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{36}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{36n^3(n+1)^3}{8n^2(n+1)^2(2n+1)^2}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{9n(n+1)}{2(2n+1)^2}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{9n(n+1)}{2(4n^2 + 4n + 1)}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{9n^2 + 9n}{8n^2 + 8n + 2}$

分子と分母を $n^2$ で割ります。

$= \lim_{n \to \infty} \frac{9 + \frac{9}{n}}{8 + \frac{8}{n} + \frac{2}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ および $\frac{1}{n^2} \to 0$ なので、

$= \frac{9 + 0}{8 + 0 + 0}$

$= \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{8}$