複素数 $1+i$ と $\sqrt{3}+i$ を極形式で表すことによって、$\cos \frac{5}{12}\pi$ と $\sin \frac{5}{12}\pi$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $1+i$ と $\sqrt{3}+i$ を極形式で表すことによって、$\cos \frac{5}{12}\pi$ と $\sin \frac{5}{12}\pi$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$1+i$と$\sqrt{3}+i$をそれぞれ極形式で表します。

$1+i$について：

絶対値は $|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

偏角は $\arg(1+i) = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4}$.

したがって、$1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

$\sqrt{3}+i$について：

絶対値は $|\sqrt{3}+i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

偏角は $\arg(\sqrt{3}+i) = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$.

したがって、$\sqrt{3}+i = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$.

次に、これらの複素数の積を計算します。

$(1+i)(\sqrt{3}+i) = (\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}))(2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}))$

$= 2\sqrt{2}(\cos (\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}) + i \sin (\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}))$

$= 2\sqrt{2}(\cos (\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi}{12}) + i \sin (\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi}{12}))$

$= 2\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12})$.

一方、$(1+i)(\sqrt{3}+i) = \sqrt{3}+i+i\sqrt{3}+i^2 = (\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}+1)$.

したがって、$(\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12})$.

実部と虚部を比較すると、

$\sqrt{3}-1 = 2\sqrt{2} \cos \frac{5\pi}{12}$

$\sqrt{3}+1 = 2\sqrt{2} \sin \frac{5\pi}{12}$.

$\cos \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

$\sin \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

3. 最終的な答え

$\cos \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\sin \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$