関数 $f(x) = -\frac{x}{2} + \sin x$ （$0 \le x \le \pi$）の極値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{x}{2} + \sin x$ （$0 \le x \le \pi$）の極値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -\frac{1}{2} + \cos x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\frac{1}{2} + \cos x = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

$0 \le x \le \pi$ の範囲で $\cos x = \frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{\pi}{3}$ です。

次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = -\sin x$

$x = \frac{\pi}{3}$ における $f''(x)$ の値を求めます。

$f''(\frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$

$f''(\frac{\pi}{3}) < 0$ であるから、$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値をとります。

$f(\frac{\pi}{3})$ を計算します。

$f(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\frac{\pi}{3}}{2} + \sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$

$x = 0$ および $x = \pi$ における値を調べます。

$f(0) = 0$

$f(\pi) = -\frac{\pi}{2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = \frac{\pi}{3}$ のみであり、極小値はありません。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき極大値 $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$、極小値なし が正しいです。