与えられた4つの積分を計算します。 (1) $\int (x-1)e^{-x} dx$ (2) $\int (x+1)\cos x dx$ (3) $\int (2x+1)\log |x| dx$ (4) $\int x^2 \log |x| dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算します。

(1) $\int (x-1)e^{-x} dx$

(2) $\int (x+1)\cos x dx$

(3) $\int (2x+1)\log |x| dx$

(4) $\int x^2 \log |x| dx$

2. 解き方の手順

各積分を部分積分を用いて計算します。

(1) $\int (x-1)e^{-x} dx$

$u = x-1$, $dv = e^{-x} dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。部分積分を行うと、

$\int (x-1)e^{-x} dx = (x-1)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})dx = -(x-1)e^{-x} - e^{-x} + C = -xe^{-x} + e^{-x} - e^{-x} + C = -xe^{-x} + C$

(2) $\int (x+1)\cos x dx$

$u = x+1$, $dv = \cos x dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。部分積分を行うと、

$\int (x+1)\cos x dx = (x+1)\sin x - \int \sin x dx = (x+1)\sin x + \cos x + C$

(3) $\int (2x+1)\log |x| dx$

$u = \log |x|$, $dv = (2x+1)dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^2+x$ となります。部分積分を行うと、

$\int (2x+1)\log |x| dx = (x^2+x)\log |x| - \int \frac{x^2+x}{x} dx = (x^2+x)\log |x| - \int (x+1) dx = (x^2+x)\log |x| - \frac{x^2}{2} - x + C$

(4) $\int x^2 \log |x| dx$

$u = \log |x|$, $dv = x^2 dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ となります。部分積分を行うと、

$\int x^2 \log |x| dx = \frac{x^3}{3}\log |x| - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}\log |x| - \int \frac{x^2}{3} dx = \frac{x^3}{3}\log |x| - \frac{x^3}{9} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (x-1)e^{-x} dx = -xe^{-x} + C$

(2) $\int (x+1)\cos x dx = (x+1)\sin x + \cos x + C$

(3) $\int (2x+1)\log |x| dx = (x^2+x)\log |x| - \frac{x^2}{2} - x + C$

(4) $\int x^2 \log |x| dx = \frac{x^3}{3}\log |x| - \frac{x^3}{9} + C$