関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して極値を求めます。

$y' = 3x^2 - 12x + 9$

$y' = 3(x^2 - 4x + 3)$

$y' = 3(x-1)(x-3)$

$y' = 0$ となるのは $x = 1, 3$ です。しかし、$x=3$ は $-1 \le x \le 2$ の範囲外なので、考慮する必要はありません。

次に、与えられた範囲 $-1 \le x \le 2$ の端点と極値 $x=1$ における $y$ の値を計算します。

$x=-1$ のとき:

$y = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 - 6 - 9 = -16$

$x=1$ のとき:

$y = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4$

$x=2$ のとき:

$y = (2)^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2$

これらの値の中で最大値と最小値を判断します。

3. 最終的な答え

最大値：4 (x=1のとき)

最小値：-16 (x=-1のとき)