3次方程式 $x^3 - 6x + 7 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 7 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式を $f(x) = x^3 - 6x + 7$ とおきます。

$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ は $f(x)$ の極値を与える $x$ の値です。

$x = -\sqrt{2}$ における $f(x)$ の極大値を求めます。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 7 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 7 = 4\sqrt{2} + 7$

$x = \sqrt{2}$ における $f(x)$ の極小値を求めます。

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 7 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 7 = -4\sqrt{2} + 7$

$4\sqrt{2} + 7 > 0$ であり、 $-4\sqrt{2} + 7 = 7 - 4\sqrt{2} = 7 - \sqrt{32} > 0$ であるため、$f(x)$ は極大値、極小値ともに正の値をとります。

$f(x)$ は、$x$ が負の方向に十分大きいとき、負の値を取り、$x$ が正の方向に十分大きいとき、正の値を取ります。

$f(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} + 7 > 0$ かつ $f(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} + 7 > 0$ より、実数解は1つであることがわかります。

実際、$f(-3) = (-3)^3 - 6(-3) + 7 = -27 + 18 + 7 = -2 < 0$ であり、$f(-2) = (-2)^3 - 6(-2) + 7 = -8 + 12 + 7 = 11 > 0$ であるので、$-3 < x < -2$ の間に解が1つあります。

3. 最終的な答え

1個