公式16.2を用いて、以下の2つの積分を求める。 (1) $\int \sqrt{9-x^2} dx$ (2) $\int \sqrt{x^2+5} dx$

1. 問題の内容

公式16.2を用いて、以下の2つの積分を求める。

(1) $\int \sqrt{9-x^2} dx$

(2) $\int \sqrt{x^2+5} dx$

2. 解き方の手順

まず、公式16.2がどのようなものかを確認する必要がある。公式16.2が、

$\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$

$\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \sinh^{-1} \frac{x}{a} + C$

であると仮定して解きます。

(1) $\int \sqrt{9-x^2} dx = \int \sqrt{3^2 - x^2} dx$

公式16.2を用いて、$a = 3$とすると、

$\int \sqrt{3^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{3^2-x^2} + \frac{3^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{3} + C$

$= \frac{x}{2} \sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1} \frac{x}{3} + C$

(2) $\int \sqrt{x^2+5} dx = \int \sqrt{x^2+(\sqrt{5})^2} dx$

公式16.2を用いて、$a = \sqrt{5}$とすると、

$\int \sqrt{x^2+(\sqrt{5})^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+(\sqrt{5})^2} + \frac{(\sqrt{5})^2}{2} \sinh^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} + C$

$= \frac{x}{2} \sqrt{x^2+5} + \frac{5}{2} \sinh^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sqrt{9-x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1} \frac{x}{3} + C$

(2) $\int \sqrt{x^2+5} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+5} + \frac{5}{2} \sinh^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} + C$