関数 $f(x)$ は区間 $\bar{I}$ で連続、区間 $I$ で微分可能であるとき、与えられた選択肢の中から正しいものを全て選択する問題です。ただし、$I=(a,b)$, $\bar{I}=[a,b]$です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は区間 $\bar{I}$ で連続、区間 $I$ で微分可能であるとき、与えられた選択肢の中から正しいものを全て選択する問題です。ただし、$I=(a,b)$, $\bar{I}=[a,b]$です。

2. 解き方の手順

各選択肢について検討します。

1. $I$ において $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加である。

これは正しいです。$f'(x) > 0$ は $f(x)$ が狭義単調増加であるための十分条件です。

2. $f(x)$ が $\bar{I}$ で狭義単調減少ならば、$I$ 上で $f'(x) < 0$ が成り立つ。

これは誤りです。$f(x)$ が狭義単調減少であるためには、$f'(x) \leq 0$ である必要があります。また、$f'(x) = 0$となる点が存在してもよいです。例えば、$f(x) = -x^3$は$x=0$で$f'(0)=0$となりますが、実数全体で狭義単調減少です。

3. $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7$ は閉区間 $[-1, 2]$ において単調増加である。

$g'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$

$g'(x) = 0$ となるのは、$x = -1, 2$ のときです。

区間 $[-1, 2]$ において、$g'(x) \leq 0$ であるので、$g(x)$ は単調減少です。したがって、この選択肢は誤りです。

4. $f(x)$ が $\bar{I}$ において単調増加であるための必要十分条件は、$I$ において $f'(x) \geq 0$ が成り立つことである。

これは正しいです。$f(x)$ が $\bar{I}$ において単調増加であるための必要十分条件は、$I$ において $f'(x) \geq 0$ が成り立つことです。

5. $f(x)$ は $I$ において $f'(x) > 0$ かつ $f(a) = 0$ ならば、$f(b) > 0$ である。

$f'(x) > 0$ より、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加である。

$f(a) = 0$ なので、$I$ 上で $f(x) > 0$ が成り立つ。したがって、$b \in I$ に対して、$f(b) > 0$ となる。これは正しいです。

3. 最終的な答え

正しい選択肢は、1, 4, 5 です。