関数 $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (a) $\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2}$ を求める。 (b) $\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となる方向 $l$ を求める。ただし、$(a, b) \neq (0, 0)$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ について、以下の2つの問いに答えます。

(a) $\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2}$ を求める。

(b) $\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となる方向 $l$ を求める。ただし、$(a, b) \neq (0, 0)$ とする。

2. 解き方の手順

(a) 勾配（グラディエント）を求める。

まず、$f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ の偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2)^{-1} = -(x^2 + y^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2)^{-1} = -(x^2 + y^2)^{-2} \cdot 2y = -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2}$

よって、勾配は次のようになります。

$\text{grad} f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \left( -\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}, -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2} \right)$

(b) 方向微分が0になる方向を求める。

方向 $l = (\cos \theta, \sin \theta)$ とします。

方向微分は次のように計算できます。

$\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = \text{grad} f(a, b) \cdot l = \left( -\frac{2a}{(a^2 + b^2)^2}, -\frac{2b}{(a^2 + b^2)^2} \right) \cdot (\cos \theta, \sin \theta)$

$\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = -\frac{2a \cos \theta}{(a^2 + b^2)^2} - \frac{2b \sin \theta}{(a^2 + b^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となるためには、

$-\frac{2a \cos \theta}{(a^2 + b^2)^2} - \frac{2b \sin \theta}{(a^2 + b^2)^2} = 0$

$2a \cos \theta + 2b \sin \theta = 0$

$a \cos \theta + b \sin \theta = 0$

$b \sin \theta = -a \cos \theta$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{a}{b}$

したがって、方向 $l$ は、$\tan \theta = -\frac{a}{b}$ を満たす方向です。

3. 最終的な答え

(a) $\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2} = \left( -\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}, -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2} \right)$

(b) $\tan \theta = -\frac{a}{b}$ を満たす方向。