与えられた3つの関数を微分する問題です。ただし、$a$ は正の定数、$A$ は定数とします。 (1) $y = \log(x^2 + 1)$ (2) $y = \log(\sqrt{x} + 1)$ (3) $y = \log|x + \sqrt{x^2 + A}|$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。ただし、$a$ は正の定数、$A$ は定数とします。

(1) $y = \log(x^2 + 1)$

(2) $y = \log(\sqrt{x} + 1)$

(3) $y = \log|x + \sqrt{x^2 + A}|$

2. 解き方の手順

各関数について、合成関数の微分法と対数関数の微分法を用いて微分します。$\log$ は自然対数とします。

(1) $y = \log(x^2 + 1)$

$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = \log u$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{x^2 + 1}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(2) $y = \log(\sqrt{x} + 1)$

$u = \sqrt{x} + 1$ とおくと、$y = \log u$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{2(x + \sqrt{x})}$

(3) $y = \log|x + \sqrt{x^2 + A}|$

$u = x + \sqrt{x^2 + A}$ とおくと、$y = \log|u|$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}}$

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + A}}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(x + \sqrt{x})}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$