関数 $f(x) = |x|$ (定義域は $-\pi \le x \le \pi$) のフーリエ級数展開を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|$ (定義域は $-\pi \le x \le \pi$) のフーリエ級数展開を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ のフーリエ級数展開は、一般に次のように表されます。

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、それぞれ以下の式で求められます。

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$$

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$$

まず、$a_0$ を計算します。$f(x) = |x|$ は偶関数なので、

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} \frac{\pi^2}{2} = \pi$$

次に、$a_n$ を計算します。$f(x) = |x|$ は偶関数であり、$\cos(nx)$ も偶関数なので、その積も偶関数です。

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) dx$$

部分積分を使って計算します。$u = x$, $dv = \cos(nx) dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{n} \sin(nx)$ となります。

$$a_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x}{n} \sin(nx) \right]_0^{\pi} - \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{n} \sin(nx) dx = \frac{2}{\pi} \left( 0 - \frac{1}{n} \left[ -\frac{1}{n} \cos(nx) \right]_0^{\pi} \right)$$

$$a_n = \frac{2}{n^2 \pi} (\cos(n\pi) - \cos(0)) = \frac{2}{n^2 \pi} ((-1)^n - 1)$$

$n$ が偶数のとき、$a_n = 0$。$n$ が奇数のとき、$a_n = \frac{2}{n^2 \pi} (-2) = -\frac{4}{n^2 \pi}$。

最後に、$b_n$ を計算します。$f(x) = |x|$ は偶関数であり、$\sin(nx)$ は奇関数なので、その積は奇関数です。

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \sin(nx) dx = 0$$

したがって、フーリエ級数展開は

$$f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} \cos((2k+1)x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{4}{(2k+1)^2 \pi} \right) \cos((2k+1)x)$$

$$f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}$$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}$