## 問題の内容

## 問題の内容

以下の4つの積分を求めます。

(1) $\int (x^3 - 1)^4 x^2 dx$

(2) $\int \frac{e^x}{(e^x + 2)^3} dx$

(3) $\int \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$

(4) $\int \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx$

## 解き方の手順

**問題(1)**

1. 置換積分を行います。$u = x^3 - 1$ と置くと、$du = 3x^2 dx$ となります。したがって、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ となります。

2. 積分を書き換えます。

$\int (x^3 - 1)^4 x^2 dx = \int u^4 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^4 du$

3. 積分を実行します。

$\frac{1}{3} \int u^4 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{1}{15} u^5 + C$

4. $u$ を $x$ に戻します。

$\frac{1}{15} u^5 + C = \frac{1}{15} (x^3 - 1)^5 + C$

**問題(2)**

1. 置換積分を行います。$u = e^x + 2$ と置くと、$du = e^x dx$ となります。

2. 積分を書き換えます。

$\int \frac{e^x}{(e^x + 2)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} du = \int u^{-3} du$

3. 積分を実行します。

$\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$

4. $u$ を $x$ に戻します。

$-\frac{1}{2u^2} + C = -\frac{1}{2(e^x + 2)^2} + C$

**問題(3)**

1. 置換積分を行います。$u = \sin x + 1$ と置くと、$du = \cos x dx$ となります。

2. 積分を書き換えます。

$\int \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx = \int \frac{1}{u} du$

3. 積分を実行します。

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$

4. $u$ を $x$ に戻します。

$\ln |u| + C = \ln |\sin x + 1| + C$

**問題(4)**

1. 置換積分を行います。$u = e^{-x} - 1$ と置くと、$du = -e^{-x} dx$ となります。したがって、$e^{-x} dx = -du$ となります。

2. 積分を書き換えます。

$\int \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx = \int \frac{-1}{u} du = -\int \frac{1}{u} du$

3. 積分を実行します。

$-\int \frac{1}{u} du = -\ln |u| + C$

4. $u$ を $x$ に戻します。

$-\ln |u| + C = -\ln |e^{-x} - 1| + C$

## 最終的な答え

(1) $\frac{1}{15} (x^3 - 1)^5 + C$

(2) $-\frac{1}{2(e^x + 2)^2} + C$

(3) $\ln |\sin x + 1| + C$

(4) $-\ln |e^{-x} - 1| + C$