問題は、定積分 $\int_1^2 \frac{dx}{x(x+1)}$ を計算することです。

## 問題1

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_1^2 \frac{dx}{x(x+1)}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$$

両辺に $x(x+1)$ をかけると

$$1 = A(x+1) + Bx$$

$x=0$ を代入すると $1 = A(0+1) + B(0) \implies A = 1$

$x=-1$ を代入すると $1 = A(-1+1) + B(-1) \implies B = -1$

したがって

$$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$$

よって、積分は

$$\int_1^2 \frac{dx}{x(x+1)} = \int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) dx$$

$$= \left[\ln|x| - \ln|x+1|\right]_1^2 = \left[\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|\right]_1^2$$

$$= \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{2/3}{1/2}\right)$$

$$= \ln\left(\frac{2}{3} \cdot 2\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right)$$

3. 最終的な答え

$\ln\left(\frac{4}{3}\right)$

## 問題2

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_0^2 \frac{dx}{x^2 - 16}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{1}{x^2 - 16} = \frac{1}{(x-4)(x+4)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}$$

両辺に $(x-4)(x+4)$ をかけると

$$1 = A(x+4) + B(x-4)$$

$x=4$ を代入すると $1 = A(4+4) + B(4-4) \implies 1 = 8A \implies A = \frac{1}{8}$

$x=-4$ を代入すると $1 = A(-4+4) + B(-4-4) \implies 1 = -8B \implies B = -\frac{1}{8}$

したがって

$$\frac{1}{x^2 - 16} = \frac{1}{8}\left(\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}\right)$$

よって、積分は

$$\int_0^2 \frac{dx}{x^2 - 16} = \frac{1}{8}\int_0^2 \left(\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}\right) dx$$

$$= \frac{1}{8}\left[\ln|x-4| - \ln|x+4|\right]_0^2 = \frac{1}{8}\left[\ln\left|\frac{x-4}{x+4}\right|\right]_0^2$$

$$= \frac{1}{8}\left(\ln\left(\frac{2}{6}\right) - \ln\left(\frac{4}{4}\right)\right) = \frac{1}{8}\left(\ln\left(\frac{1}{3}\right) - \ln(1)\right)$$

$$= \frac{1}{8}\ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{8}\ln(3)$$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{8}\ln(3)$

## 問題3

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{x-1}{x^2+1}dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

$$\int_0^{\sqrt{3}} \frac{x-1}{x^2+1}dx = \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{x^2+1}dx - \int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1}dx$$

最初の積分について、$u = x^2+1$ と置くと $du = 2xdx$ より $xdx = \frac{1}{2}du$ 。$x=0$ のとき $u=1$, $x=\sqrt{3}$ のとき $u=4$。

$$\int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{x^2+1}dx = \int_1^4 \frac{1}{2u}du = \frac{1}{2}[\ln|u|]_1^4 = \frac{1}{2}(\ln 4 - \ln 1) = \frac{1}{2}\ln 4 = \ln 2$$

次の積分は

$$\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1}dx = [\arctan x]_0^{\sqrt{3}} = \arctan \sqrt{3} - \arctan 0 = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$$

したがって

$$\int_0^{\sqrt{3}} \frac{x-1}{x^2+1}dx = \ln 2 - \frac{\pi}{3}$$

3. 最終的な答え

$\ln 2 - \frac{\pi}{3}$

## 問題4

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_0^1 \frac{x}{x^2 - 2x + 2}dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成させます。

$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$

$\int_0^1 \frac{x}{x^2 - 2x + 2}dx = \int_0^1 \frac{x}{(x-1)^2 + 1}dx$

$u = x-1$ と置くと $x = u+1$ であり $dx = du$ 。$x=0$ のとき $u=-1$、$x=1$ のとき $u=0$。

$\int_0^1 \frac{x}{(x-1)^2 + 1}dx = \int_{-1}^0 \frac{u+1}{u^2 + 1}du = \int_{-1}^0 \frac{u}{u^2+1}du + \int_{-1}^0 \frac{1}{u^2+1}du$

最初の積分について、$v = u^2+1$ と置くと $dv = 2udu$ より $udu = \frac{1}{2}dv$ 。$u=-1$ のとき $v=2$、$u=0$ のとき $v=1$。

$\int_{-1}^0 \frac{u}{u^2+1}du = \int_2^1 \frac{1}{2v}dv = \frac{1}{2}[\ln|v|]_2^1 = \frac{1}{2}(\ln 1 - \ln 2) = -\frac{1}{2}\ln 2$

次の積分は

$\int_{-1}^0 \frac{1}{u^2+1}du = [\arctan u]_{-1}^0 = \arctan 0 - \arctan (-1) = 0 - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$

したがって

$\int_0^1 \frac{x}{x^2 - 2x + 2}dx = -\frac{1}{2}\ln 2 + \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2$

## 問題5

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_2^3 \frac{2}{x(x^2-1)} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{2}{x(x^2-1)} = \frac{2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$$

両辺に $x(x-1)(x+1)$ をかけると

$$2 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$$

$x=0$ を代入すると $2 = A(-1)(1) + B(0) + C(0) \implies 2 = -A \implies A = -2$

$x=1$ を代入すると $2 = A(0) + B(1)(2) + C(0) \implies 2 = 2B \implies B = 1$

$x=-1$ を代入すると $2 = A(0) + B(0) + C(-1)(-2) \implies 2 = 2C \implies C = 1$

したがって

$$\frac{2}{x(x^2-1)} = -\frac{2}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$$

よって、積分は

$$\int_2^3 \frac{2}{x(x^2-1)} dx = \int_2^3 \left(-\frac{2}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}\right) dx$$

$$= \left[-2\ln|x| + \ln|x-1| + \ln|x+1|\right]_2^3 = \left[\ln\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\right|\right]_2^3$$

$$= \left[\ln\left|\frac{x^2-1}{x^2}\right|\right]_2^3 = \ln\left(\frac{8}{9}\right) - \ln\left(\frac{3}{4}\right) = \ln\left(\frac{8/9}{3/4}\right) = \ln\left(\frac{8}{9} \cdot \frac{4}{3}\right) = \ln\left(\frac{32}{27}\right)$$

3. 最終的な答え

$\ln\left(\frac{32}{27}\right)$

## 問題6

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_{-1}^1 \frac{x^2+1}{x^2-x-6} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

被積分関数は $\frac{x^2+1}{x^2-x-6} = \frac{x^2+1}{(x-3)(x+2)}$ です。

まず、割り算を行い、

$x^2+1 = 1(x^2-x-6) + (x+7)$

よって、$\frac{x^2+1}{x^2-x-6} = 1 + \frac{x+7}{x^2-x-6} = 1 + \frac{x+7}{(x-3)(x+2)}$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{x+7}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}$

$x+7 = A(x+2) + B(x-3)$

$x=3$ を代入すると $10 = 5A \implies A=2$

$x=-2$ を代入すると $5 = -5B \implies B=-1$

よって、$\frac{x^2+1}{x^2-x-6} = 1 + \frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+2}$

$\int_{-1}^1 \frac{x^2+1}{x^2-x-6} dx = \int_{-1}^1 \left(1 + \frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+2}\right) dx = [x + 2\ln|x-3| - \ln|x+2|]_{-1}^1$

$= [x + \ln\frac{(x-3)^2}{x+2}]_{-1}^1 = (1 + \ln\frac{4}{3}) - (-1 + \ln\frac{16}{1}) = 2 + \ln\frac{4}{3} - \ln 16 = 2 + \ln\frac{4}{3 \cdot 16} = 2 + \ln\frac{1}{12}$

$= 2 - \ln 12 = 2 - \ln (4 \cdot 3) = 2 - \ln 4 - \ln 3 = 2 - 2\ln 2 - \ln 3$

3. 最終的な答え

$2 - 2\ln 2 - \ln 3$

## 問題7

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_1^3 \frac{x^2}{x^2-4x+5} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

$x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$

$\int_1^3 \frac{x^2}{x^2-4x+5} dx = \int_1^3 \frac{x^2}{(x-2)^2+1} dx$

$u = x-2$ と置くと $x = u+2$ であり $dx = du$ 。$x=1$ のとき $u=-1$、$x=3$ のとき $u=1$。

$\int_1^3 \frac{x^2}{(x-2)^2+1} dx = \int_{-1}^1 \frac{(u+2)^2}{u^2+1} du = \int_{-1}^1 \frac{u^2 + 4u + 4}{u^2+1} du = \int_{-1}^1 \frac{u^2+1 + 4u + 3}{u^2+1} du$

$= \int_{-1}^1 (1 + \frac{4u}{u^2+1} + \frac{3}{u^2+1}) du = [u + 2\ln(u^2+1) + 3\arctan u]_{-1}^1$

$= (1 + 2\ln 2 + 3\frac{\pi}{4}) - (-1 + 2\ln 2 - 3\frac{\pi}{4}) = 2 + \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$2 + \frac{3\pi}{2}$

## 問題8

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_0^1 \frac{x^2}{(x^2 - 2x + 2)^2} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$

$\int_0^1 \frac{x^2}{((x-1)^2 + 1)^2} dx$

$u = x - 1$ と置換すると $x = u+1$ であり $dx = du$ 。$x=0$ のとき $u=-1$、$x=1$ のとき $u=0$。

$\int_0^1 \frac{x^2}{(x^2-2x+2)^2} dx = \int_{-1}^0 \frac{(u+1)^2}{(u^2+1)^2} du = \int_{-1}^0 \frac{u^2 + 2u + 1}{(u^2+1)^2} du$

$= \int_{-1}^0 \frac{u^2+1 + 2u}{(u^2+1)^2} du = \int_{-1}^0 \frac{1}{u^2+1} du + \int_{-1}^0 \frac{2u}{(u^2+1)^2} du$

一つ目の積分は $\arctan u$ なので、$\int_{-1}^0 \frac{1}{u^2+1} du = [\arctan u]_{-1}^0 = 0 - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$

二つ目の積分は $v = u^2+1$ とすると $dv = 2u du$ より、$\int_{-1}^0 \frac{2u}{(u^2+1)^2} du = \int_2^1 \frac{dv}{v^2} = [-\frac{1}{v}]_2^1 = -1 - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

$\int_0^1 \frac{x^2}{(x^2-2x+2)^2} dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

## 問題9

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_0^1 \frac{3x-1}{(x+1)(x^2+1)} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行います。

$\frac{3x-1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

$3x-1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1) = Ax^2+A + Bx^2 + Bx + Cx + C = (A+B)x^2 + (B+C)x + A+C$

$A+B=0$

$B+C=3$

$A+C=-1$

$B = -A$ なので $-A+C=3$

$A+C=-1$ と $-A+C=3$ を足すと $2C=2$ なので $C=1$

$A+1=-1$ なので $A=-2$

$B = -A = 2$

$\frac{3x-1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{-2}{x+1} + \frac{2x+1}{x^2+1} = -\frac{2}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}$

$\int_0^1 \frac{3x-1}{(x+1)(x^2+1)} dx = \int_0^1 \left(-\frac{2}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}\right) dx = [-2\ln|x+1| + \ln(x^2+1) + \arctan x]_0^1$

$= [-2\ln|x+1| + \ln(x^2+1) + \arctan x]_0^1 = (-2\ln 2 + \ln 2 + \frac{\pi}{4}) - (-2\ln 1 + \ln 1 + 0) = -\ln 2 + \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \ln 2$